初中数学竞赛专题选讲
分式
一、内容提要
1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的
取值确定的。 (1)分式
A中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，B反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
A都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。 BA(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。
B(2)若A、B及
2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。 二、例题
x2?2x?3例1．x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？
x2?2xx2?2x?3（x?1)(x?3)解： ＝
x(x?2)x2?2x
0 -2 -1 3
以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；
当x<－2, －1 2m?7的值是正整数？ m?192m?72m?2?9解：＝＝2＋ m?1m?1m?1x?4x?2x?2x?4当例3．计算＋－－ x?1x?3x?1x?3例2．m取什么值时，分式 1 9＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数 m?1即m－1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋ 3131＋1＋－1－－1－ x?1x?1x?3x?3＝ 3(x?1)?3(x?1)(x?3)?(x?3)＋ (x?1)(x?1)(x?3)(x?3)－6648＋＝ 2222x?1x?9(x?1)(x?9)＝ a2?ab4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a∶b∶c ②2 c?bc解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k a2?ab(2k)2?2k?k1∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②2＝＝ 26c?bc(3k)＋k?3k例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个 两位数；如果要使商为最大值呢？ 解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9, 0≤y≤9 10x?y9x＝1＋ x?yx?y当x取最小值1，y取最大值9时，分式 9x的值最小；当x取最大值9，x?yy取最小值0时，分式 9x的值最大。 x?y答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 三、练习 2 1． a=___时，分式 a?2a?a?62的值是0 ?2x?2y?z?0x2?y2?z22． 已知?则分式2＝＿＿＿＿ 22x?y?z?x?2y?z?03． 若x和分式 3x?2都是整数，那么x=_______________ x?11211)-______ ②(x2+2+2)÷（x+)=____ xxx4． 直接写出结果: ① x＋21x2=(x+ ③ （x2- 11111)?2)＝＿＿）÷（x+）=__＿＿ ④（1＋（1－2xxxxx＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 11＋1＋1 11＋x x2?x?26．x取什么值时分式的值是零？是正数？是负数？ 2x?97 ． 计 算 ： ① x?4x?1＋ x?2x?4x?2??x?3x?1x?3 ② 1124??? 241?x1?x1?x1?xx2?2x?1x?10 ③ ?2?223x?8x?4x?x?2x?46x?7x?28．解方程： 2x?9x?10x?6x?7???x?8x?9x?5x?6 x3?2x3?9?2?2x?12x?x?1x?2x?4 3 ⑶ x?a?bx?b?cx?c?a111???3（其中???0) cababcy x ∶ zxyz9．已知xy∶yz∶zx=∶2∶1, 求①x∶y∶z ② 10．已知a≠b≠c且 b?cc?aa?b 求证：ax+by+cz=0 ??xyz11.已知： x?yy?zz?x 求：（x+y）∶z的值 ??zxy12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最 小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式 ax?3中的x不论取什么值分式bx?5的值都不变，问a和b之间的关糸应满足什么条件？ 14. 已知 abc?? 求证：（a2+b2+c2）(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2 mnp练习题参考答案 1. －2 2. －1 3. 2，0，6，－4 4. ①1＋ 111 ② x+ ③－2 ④－3（x+） xxx3111⑤1＋?2 ⑥－（x+） xxx5. x=－1，－2，－1.5时没有意义 6. 仿例1，四个零点－3，－1，2，3把实数分为五个区间 4 8x?38x3?56x7. ①2 ② ③ x?21?x8(x?1)(x2?9)8. ①x=－7 ②x＝－1 9. 9.①3∶6∶2 ②0.25 10.设各比的比值为k 11. 2或－1 12. 10.5（x=1,y=8,z=9） 13. 5a=3b 14. 设比的比值为k,分别证明左，右两边都等于k2(m2+n2+p2)2 5
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