Gronwall不等式及其应用
1. 引言
众所周知, Gronwall不等式在分析的许多领域,例如常微分方程及积分方程,都有着重要的应用.本文将一维空间(即实数范围内)的Gronwall不等式推广到无穷维的有序Banach空间中去,然后给出它在常微分方程中的若干重要的应用.其中的一些定理是新给出的或对某些教科书中的定理给出新的证明. 2. 一个抽象的Gronwall不等式
设P为Banach空间E中的一个锥，即P是E中的一个非空凸闭集，并满足： (i) ?x?P, ??0??x?P (ii) x?P, ?x?P?x??
给定E中的一个锥P后,则可在E中的元素间引入半序:x?y (x,y?E)?y?x?P,则E按上述定义的半序\?\成为一个有序的Banach空间。又若存在常数N?0,使当??x?y时,恒有x?Ny,则称锥P是正规的,而这里的正数N称为正规常数, ?为E中的零元素，有了上述概念之后,我们就可以将实数空间中的Gronwall不等式推广到无穷维有序的Banach空间上.
定理2.1 设P是实Banach空间E中的正规锥, N为正规常数, E按上述定义的半序\?\成为有序的Banach空间.设x(t)?C([a,b],E), L(t)?C([a,b],R1),(这里及以后假定Rn为n维实的欧几里得空间),Z?E满足: ??x(t)?Z??L(s)x(s)ds, a?t?b (1.1)
a t则 x(t)?NZexpN?L(s)ds , a?t?b (1.2)
a? t?当Z??时，即由 ??x(t)??L(s)x(s)ds, ?t??a, b? (1.3)
a t可得x(t)??, ?t??a, b?
证明 首先设Z??，则由锥P正规及（1.1）得
x(t)?NZ??L(s)x(s)ds a t?NZ?N?L(s)?x(s)ds a?t?b (1. 4) a t
(i)证法1令?(t)?NZ?N?L(s)?x(s)ds 则?(t)在[a,b]上可导，且?(t)?0,
a t??(t)?NL(t)?x(t) ?NL(t)??(t) ?t?[a,b]
??(t)?NL(t) ?t??a,b? ?(t) t?(t)对上式从a到t?[a,b]积分得 ln?N?L(t)ds
a?(a)?(t)??(a)exp{N?L(s)ds} a t ?NZ?exp{N?L(s)ds} ?t?[a,b] a t
x(t)??(t)?NZexp{N?L(s)ds} ?t?[a,b]
a t当Z??时，由（1.3）得 x(t)?N?L(s)?x(s)ds
a t所以???0有 x(t)???N?L(s)?x(s)ds ?t?[a,b]
a t从而 x(t)???exp{N?L(s)ds} ?t?[a,b]
a t而 0?exp{N?L(s)ds} ???
a t?为任意小正数，故只能x(t)?0, ?t?[a,b] 即x(t)??, ?t?[a,b]
证法2
令 ?(t)??L(s)?x(s)ds 所以??(a)?0
a t且有
1
??(t)?L(s)?x(t) ?L(s)(NZ?N?L(s)?x(s)ds) a t ?NL(t)?Z?NL(t)?(t) ?
??(t)?NL(t)?(t)?NL(t)?Z[??(t)?NL(t)?(t)]?exp?N?l(s)ds?NL(t)?Z?exp?N?l(s)ds
aa?t??t????(t)exp?NtL(s)ds??NL(t)?Z?exp?NtL(s)ds
?a?a????此不等式两边同时从a到t积分, 得到
?????(t)exp?N?L(s)ds??(a)exp?N?L(s)ds a? t a t?NZ?L(s)exp?N?L(s)dsd? a t1?L(s)ds?NZ(?)exp?N?L(s)ds?1?
? a??N? t t?? ??? a a?
?(t)exp?N????(t)exp??N?L(s)ds???Z?exp??N?L(s)ds??1?
????? ?(t)??Z?1?exp?N?L(s)ds????? t a a a t a?? t????x(t)?NZ?N??Z?1?exp?NL(s)ds???? a???????? 得到
?NZexpN?L(s)ds , a?t?b a? t?(ii) 当Z??时,由上式得 x(t)?0 , ?t?[a,b] 即 x(t)?? , ?t?[a,b]
在定理1.1中取E?Rn,则P??x1, x2, x3, ..., xn?xi?0, i?1, 2, ..., n为Rn中的正规
T??锥(正规常数为1), Rn由P导出的半序成为有序的Banach空间,其中Rn的范数由下列之一给出
?x??x1, x2, x3, ..., xn??Rn
T 2
x??xi?1n2i x??xi x?maxxi
i?11?i?nn则由定理1.1可得
2.1 设xi(t),L(t)?C[a,b],R1 i?1, 2, ......满足:存在常数
ci(i?1, 2, 3, ..., n)使得
推论
??0?xi(t)?ci??L(s)xi(s)ds ?t?[a,b] i?1, 2, 3, ......
a t则
x(t)?Cexp?L(s)ds ?t?[a,b] i?1, 2, 3, ......
a? t?其中x(t)??x1(t), x2(t), ?, xn(t)?, C??c1, c2, ?, cn??Rn,它们的范数为Rn中的范
TT数。特别当ci?0, i?1, 2, ..., n时，可得
xi(t)?0 ?t?[a,b] i?1, 2, 3, ......
若在推论1.1中,取n?1,则得到一般教科书中所介绍的Gronwall不等式.
推论2.2 (Gronwall不等式) 设x(t), L(t)?C([a,b],R1) , C?0为常数满足
0?x(t)?C??L(s)x(s)ds ?t?[a,b]
a t则?t?[a,b]有 0?x(t)?C?exp?L(s)ds
a? t?特别当C?0时, x(t)?0 , ?t?[a,b]
3. Gronwall不等式对常微分方程初值问题解的唯一性的应用
定理3.1 设E为实Banach空间, f(t,x):R1?E?E满足:存在R1上的非负
的连续函数L(t),使?(t,x), (t,y)?R1?E都有
f(t,x)?f(t,y)?L(t)x?y
又设(t0,x0)?R1?E，则当初值问题
?x??f(t,x) (2.1) ?x(t)?x 0?0有连续可微的解时, 解必唯一.
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Gronwall不等式
