第二章 函数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 课时2 简单幂函数的图像和性质
知识点1 幂函数的概念
1.☉%5#￥038@￥%☉(2020·山东济宁一中高一检测)下列函数是幂函数的是( )。
35
A.y=x+1 B.y=x
3
C.y=5x D.y=(x+1) 答案：B
33
解析：函数y=x+1中含常数项,不是幂函数;函数y=5x的系数不是1,不是幂函数;函数y=(x+1)
5
的底数不是自变量x,不是幂函数;函数y=x是幂函数。故选B。
2.☉%￥54*#63#%☉(2020·四川绵阳中学高一月考)下列函数中,定义域是R的是( )。 A.y=x B.y=√??
2-1
C.y=x D.y=x 答案：C
-2-12
解析：函数y=x,y=x的定义域为{x|x∈R,x≠0},函数y=√??的定义域为{x|x≥0},函数y=x的定义域为R。故选C。
2a3.☉%￥38#9￥8*%☉(2020·重庆一中高一期中)已知幂函数y=(a-2a-2)·x在实数集R上单调,那么实数a=( )。 A.1 B.3或-1 C.-1 D.3 答案：D
23
解析：由幂函数定义可知a-2a-2=1,所以a=-1或a=3。当a=3时,y=x,满足在实数集R上单
-1
调;当a=-1时,y=x,不满足在实数集R上单调,所以a=3,故选D。
t-1
4.☉%*4924@#￥%☉(2020·福州一中月考)若函数f(x)=(t+2)x是幂函数,则这个函数的解析式为 。
-2
答案：f(x)=x
-2
解析：因为t+2=1,所以t=-1,所以f(x)=x。
5.☉%*@￥9￥117%☉(2020·内江统考)函数f(x)=(m+3m+1)·????原点,则m= 。 答案：-3
2
2
-2
2+??-1
是幂函数,且其图像过
解析：因为函数f(x)=(m+3m+1)·????+??-1是幂函数,所以m+3m+1=1,解得m=0或-3。当m=0
-15
时,f(x)=x,其图像不过原点,舍去;当m=-3时,f(x)=x,其图像过原点。∴m=-3。
2
2
6.☉%@#72*1@7%☉(2020·福建三明二中统考)若f(x)=x是幂函数,且满足??(2)=3,则
a??(4)
f(2)= 。
答案：3
解析：因为??(2)=3,所以2??=3,即2=3,所以f(2)=(2)=2=3=3。
知识点2 幂函数的图像
7.☉%1￥5**@82%☉(多选)(2020·衡水二中单元测验)下列命题中不正确的是( )。
αA.当α=0时,函数y=x的图像是一条直线
??(4)
4??
a1
1
1
1??
-a-1
1
B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点
ααC.若幂函数y=x的图像关于原点对称,则y=x在定义域上是增函数 D.幂函数的图像不可能在第四象限 答案：ABC
α解析：当α=0时,函数y=x的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图像为两条射线,故A选项不正确;
α-1
当α<0时,函数y=x的图像不过(0,0)点,故选项B不正确;幂函数y=x的图像关于原点对称,
α但其在定义域内不是增函数,故选项C不正确;当x>0,α∈R时,y=x>0,故幂函数的图像都不在第四象限,故选项D正确。
8.☉%*8@#951@%☉(2020·西安二中月考)函数y=??3的图像是( )。
1
图2-4-2-1
答案：B
解析：直接由幂函数的图像特征判定。故选B。
9.☉%@*4@@410%☉(2020·盐城中学月考)函数y=??2-1的图像关于x轴对称的图像大致是( )。
1
图2-4-2-2
答案：B
解析： y=??2的图像在第一象限,函数y=??2-1的图像可看作是由y=??2的图像向下平移1个单位长度得到的,将y=??-1的图像关于x轴对称后即为选项B所示图像。故选B。
10.☉%@50￥*7*3%☉(2020·丰台二中月考)如图2-4-2-3,给出4个幂函数的图像,则图像与函数大致对应的是( )。
12
1
1
1
图2-4-2-3
A.①y=x,②y=??,③y=??,④y=x B.①y=x,②y=x,③y=??2,④y=x
3
2
2
1312
-1
1
-1
C.①y=x,②y=x,③y=??,④y=x D.①y=??3,②y=??2,③y=x,④y=x 答案：B
解析：注意到函数y=x≥0,其图像关于y轴对称,该函数图像应与②对应;y=??=√??的定义域、值域都是[0,+∞),该函数图像应与③对应;y=x=,其图像应与④对应。故选B。
??
-1
2
23
12-1
11
2-1
121
11.☉%3**10￥9#%☉(2020·湖北襄阳四中期中)在同一坐标系内,函数y=x(a≠0)和y=ax-??的图像可能是( )。
a1
图2-4-2-4
答案：C
解析：当a<0时,函数y=ax-??是减函数,且在y轴上的截距-??>0,y=x在(0,+∞)上是减函数,所以B,D项均不正确。对于A,C项,由y=ax-??是增函数可知a>0,则y=x应为增函数,A项错,C项正确,故选C。
12.☉%2￥￥@2*45%☉(2020·山西大同高一月考)若幂函数y=(m-3m+3)·????-??-2的图像不过原点,则m的取值是( )。 A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1 答案：B
2
解析：由幂函数的定义,可得m-3m+3=1,解得m=1或2。
-20
当m=1时,y=x,其图像不过原点;当m=2时,y=x,其图像不过原点。故m=1或2。故选B。 13.☉?*09***%☉(2020·湖南湘潭一中、岳阳一中高一联考)如图2-4-2-5,曲线是幂函数
2
11
a1
a2
y=xn在第一象限的图像,已知n取±2,2三个值,则相应于曲线C1,C2,C3的n值依次为( )。
1
图2-4-2-5
A.-2,2,2 B.2,2,-2 C.-2,2,2 D.2,-2,2 答案：B
1
1
1
1
解析：函数y=x,y=x,y=??2中令x=4得到的函数值依次为,16,2,函数值由大到小对应的解析
16
-22
1
1
式为y=x,y=??,y=x,因此相应于曲线C1,C2,C3的n值依次为2,2,-2,故选B。 14.☉%#*￥923*6%☉(2020·开封中学月考)已知幂函数f(x)的图像过点(4,2),则
1
2
1
2
-2
1
f(8)= 。
答案：4
解析：设幂函数为y=x(α为常数)。
α因为函数f(x)的图像过点(4,2),所以2=4, 所以α=。所以f(x)=??2,
21
1
α√2所以f()=()=。
884
15.☉%5@@*03￥0%☉(2020·山东临沂高一检测)如图2-4-2-6,幂函数f(x)=x(m∈N)的图像
关于y轴对称,且与x轴,y轴均无交点,求此函数的解析式及不等式f(x+2)<16的解集。
3m-7
11
12√2
图2-4-2-6
答案：解:由题意,得3m-7<0,所以m<3。
因为m∈N,所以m=0,1或2。
因为幂函数的图像关于y轴对称,所以3m-7为偶数。
-4
因为m=0时,3m-7=-7,m=1时,3m-7=-4,m=2时,3m-7=-1,所以当m=1时,y=x符合题意,即f(x)=x-4。
-4
所以不等式f(x+2)<16可化为(x+2)<16, 即-2<(x+2)<2,解得x>-2或x<-2, 所以该不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞)。 题型1 利用幂函数的性质比大小
16.☉#@￥8￥2%☉(2020·宿迁一中高一月考)a=1.2,b=(),c=1.1的大小关系是
9( )。
A.c 解析：因为y=??是增函数, 所以1.2>(9)>1.1,即a>b>c。故选D。 121212 12-1 7 35 53 10 12 10 12 1217.☉y0@#1*@%☉(2020·江苏扬州中学月考)已知幂函数f(x)=x(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B -5 解析：因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以3m-5<0(m∈N),则m=0或m=1。当m=0时,f(x)=x-2 是奇函数,不合题意。当m=1时,f(x)=x是偶函数,符合题意,因此m=1,故选B。 0.30.20.1 18.☉6@#4*5@%☉(2020·郑州一中月考)设a=2,b=3,c=7,则a,b,c的大小关系为( )。 A.c 解析：因为a=()=(),b=()=(),c=()=(),又函数f(x)=??5单调递增,且<<, 51255255251252525所以a 20.☉%*77#0￥#7%☉(2020·大连第23中学期中)比较下列各组数的大小。 (1)3-2和3.1-2; 答案：解:函数y=??在(0,+∞)上为减函数, 又3<3.1,所以3>3.1。 (2)-8和-(); 9 答案：-8=-(8),函数y=??8在(0,+∞)上为增函数, 又8>9,则(8)>(9),从而-8<-(9)。 (3)4.1,3.8和-(1.9)。 答案：4.1>1=1,0<3.8<1=1,-(1.9)<0, 所以-(1.9)<3.8-3<4.15。 题型2 利用幂函数的性质求最值及参数的范围 3 21.☉%#844*1#@%☉(2020·杭州二中月考)函数f(x)=x的图像( )。 A.关于直线y=x对称 B.关于x轴对称 C.关于原点对称 D.关于y轴对称 35 2 2 25 25 255 5 3m-5 2 352 253 252 358 152 254 153 259 151 849 - 52- 52- 52- 78 1 78- 78 1 787 111 781 78- 781 78- 23 35- 23 - 23 35
新教材高中数学2.4函数的奇偶性与简单的幂函数2.4.2简单幂函数的图像和性质一课一练含解析北师大版必修一
