主要内容：
1.向量代数2.平面与直线3.曲面与曲线
第八章向量代数与空间解析几何（仅数一）
常考题型：
1.求平面、直线方程及位置关系2.求旋转曲面、柱面及投影曲线
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
一、向量代数
1.向量的运算及应用
数量积 a?b??ax,ay,az???bx,by,bz??axbx?ayby?azbz；a?b?abcos?,其中?是a与b的夹角；a垂直b?a?b?0?axbx?ayby?azbz长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
向量积 ia?b?axbxjaybykaz；bza?b?absin?,其中?是a与b的夹角；axayaza平行b?a?b?0???bxbybza?b表示与a和b都垂直的向量.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
混合积 ?axayaza?b??c?bxbybz；cxcycz?axaya,b,c三向量共面?a?b??c?0?bxbycxcy长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
azbz?0.cz方向角，方向余弦a与x、y、z轴正向的夹角?,?,?称为a的方向角；cos?,cos?,cos?称为a的方向余弦,且cos??axa,cos??aya,cos??aza.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
二、平面与空间直线方程
1.平面方程（基本要素：一个点和一个法向量）
（1）一般式（2）点法式（3）截距式Ax?By?Cz?D?0；A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0；xa?yb?zc?1.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
2.直线方程（基本要素：一个点和一个方向向量）
（1）一般式（2）点向式（3）参数式??A1x?B1y?C1z?D1?0A；?2x?B2y?C2z?D2?0x?x0l?y?y0m?z?z0n?0；??x?x0?lt?y?y0?mt.??z?z0?nt长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
3.距离公式
（1）点P0?x0,y0,z0?到平面Ax?By?Cz?D?0的距离d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222；P0P??x?x0y?y0z?z0（2）点P0?x0,y0,z0?到直线???0的距离d?；lmn?（3）两平行平面之间的距离d?D1?D2A?B?C222.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
4.平面、直线的位置关系
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??例1??求过三点M1?2,?1,4?、M2??1,3,?2?和M3?0,2,3?的平面方程.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
??例2??一平面通过两点M1?1,1,1?和M2?0,1,?1?且垂直于平面x?y?z?0,求它的方程.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
??例3??求过点?1,?2,4?且垂直于平面2x?3y?z?4?0的直线方程.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
??例4??求与两平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行且过点??3,2,5?的直线方程.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
?x?y?z?1?0??例5??求直线?x?y?z?1?0在平面x?y?z?0上的投影直线方程.?长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
三、曲面与空间曲线
1.旋转曲面
曲线C绕一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.（1）坐标面内的平面曲线绕坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面?f?y,z??0yoz平面上的一条曲线L:?,?x?0?绕y轴旋转一周所得旋转曲面方程为:f?y,?绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程为:f?x?y,z?0;222?x?z??0.2长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
（2）空间曲线绕坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
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x2z2??例1??将xoz面上的双曲线a2?c2=1分别绕z轴和x轴旋转一周,求所产生的旋转曲面的方程.长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
?x?1???例2??直线?y?t绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程是____.?z?2t?长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
2.柱面
动直线L沿定曲线C平行移动形成的曲面称为柱面,动直线L叫母线,定曲线C叫准线.?f?x,y??0,母线平行于z轴的柱面方程为f?x,y??0;（1）准线为L:??z?0??F?x,y,z??0,母线平行于z轴的柱面方程为（2）准线为?:???G?x,y,z??0??F?x,y,z??0从方程组?消去z得到的二元方程H?x,y??0.??G?x,y,z??0长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
?x2?y2?2z2?1为准线,母线平行于z轴的柱面.??例3??求以C:?222?x?y?z?0长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
3.空间曲线
??F?x,y,z??0,两张曲面的交线；一般式:???G?x,y,z??0?x?x?t?参数式:??y?y?t?,??t??.??z?z?t?长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
4.空间曲线在坐标面上的投影
??F?x,y,z??0在?的一般式:?中消去z,得到??x,y??0,??G?x,y,z??0???x,y??0则?在xoy面上的投影曲线包含于曲线?.?z?0长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
??例4??求上半球面z?4?x?y和锥面z?3?x?y?围成的立体在xoy面上的投影.2222长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
?x2?4y2?4,在xOy平面上的投影曲线方程是______.??例5??曲线L:??2x?3y?z?1?0长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
高数第八章
