第一章集合与函数概念 一、集合有关概念
1、 集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其屮每一个对象叫元素。 2、 集合的中元素的三个特性：
1. 元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这 个给定的集合的元索。
(2) 任何一个给定的集合中，任何两个元索都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时， 仅算一个
元素。
(3) 集合屮的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的 元索是否
一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4) 集合元索的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、 集合的表示：｛…｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ 1 ?用拉丁字母表示集合:A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2, 3, 4, 5｝ 2. 集合的表示方法：列举法与描述法和自然语言法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即白然数集)记作：N
正整数集N*或N+ 整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念
集合的元索通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元索，就说a属于集合八记作a WA ,相反，
a不属于集合A记作alA
列举法：把集合屮的元素一一列举出来，然示用一个人扌舌号括上。
描述法：将集合屮的元素的公共属性描述出來，写在大括号内表示集合的方法。川确定的条 件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
① 语言描述法：例：｛不是肓角三角形的三角形｝
② 数学式了描述法：例：不等式x-3>2的解集是｛xtRl x-3>2｝或｛x| x-3>2｝ 4、集合的分类： 1.有限集 2.无限集 3.空集
含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合
不含任何元素的集合 例：｛x |x2=—5｝
二、集合间的基木关系
1?“包含”关系一了集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。 反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2. “相等”关系（525,且5W5,则5=5）
实例：设 A 二｛x|x2-1 二 0｝ B=｛-1,1） “元素相同”
结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B 的任何一个元素都是集合A的元索，我们就说集合A等于集合B,即：A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。AfA
② 真子集:如果AfB,且屮B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A） ③ 如果A1B, BiC ,那么A1C ④ 如果AfB同时BfA那么A二B
3. 不含任何元索的集合叫做空集，记为① 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真
子集。
三、集合的运算
1、 交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元索所组成的集合，叫做A,B的交集.
记作 AC1B(读作” A 交 B”),即 AAB={x|xeA,且 xWB}?
2、 并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元索所组成的集合，叫做 的并集。记
作：AUB(读作” A并B”),即AUB={x|xeA,或xeB}.
3、 交集与并集的性质：AQA = A, AH d, AAB 二 BAA, AUA = A, AU A ,AUB = BUA. 4、 全集与补集
(1) 补集：设S是一个集合，A是S的一个了集(即)，由S屮所有不属于A的元素纟R成 的集合，
叫做S中子集A的补集(或余集) 二、两数的有关概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A屮 的任意一个
数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： A-B为从集合 A到集合B的一个函数.记作：y=f(x), xeA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做 函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | xeA }叫做函数 的值域.
注意：2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这 个式了有意义的实数的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式纟F1的主要 依据是：
(1) 分式的分母不等于零；
(2) 偶次方根的被开方数不小于零；
构成两数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：(1)构成函数三个要索是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应 关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或 为同一函数)
(2) 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全-?致，而与表示自变量和函数值 的字母
无关。
(3) 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) 3. 两数图象知识归纳
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xeA)中的x为横坐标，函数值y为纵 坐标的点P(x, y)的集合C,叫做函数y=f(x), (x WA)的图象.
C上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满足y二f(x)的每一纟R有序实 数对x、y为坐标的点(x, y),均在C上.即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x\
图象C —?般的是一条光滑的连续Illi线(或直线)，也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只 有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(3) 作用：
1、肓观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题屮的错课。
4. 了解区间的概念
(1) 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2) 无穷区间； (3) 区间的数轴表示.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是肓?线、折线、离散的点等等，注意判断一个图 形是否是两数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注 意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变疑要 有代表性，应能反映定义域的特征.
解析法：便于算出两数值。 列表法：便于杏出函数值。 图象法：便于量出两数值
5. 函数单调性
(1) ?增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域1内的某个区间D内的任意两个自变量xl, x2,当xl 增区间(睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl, x2,当xl 注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量xl, x2；当xl (2) 图象的特点 如果函数y二f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y二f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是卜-降 的. (3) .函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1任取xl, x2eD,且xl 注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写 成其并集.2、述记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？ 8. 函数的奇偶性 (1) 偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f (―x) =f (x),那么f(x)就叫做偶函 数. (2) .奇函数 —?般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f( —X)二—f(X),那么f(x)就叫做奇 函数. 注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函 数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数乂是偶函数。 2由两数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x,则一x 也一定是定义域内的一个自变罐(即定义域关于原点对称). (3) 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称. 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点 对称，若不对称则两数是非奇非偶两数?若对称，(1)再根据定义判定；(2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x) ±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l来判定；(3) 利用定理，或借助两数的图象判定?
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