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1.3.2 球的体积和表面积
【课时目标】 1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．
一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
6ππA． B． 622π3πC． D． 2π
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A．2倍 B．22倍
3
C．2倍 D．2倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A．1∶3 B．1∶3 C．1∶33 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( ) A．1∶2∶3 B．1∶2∶3 C．1∶22∶33 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．25π B．50π
C．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )
A．4∶9 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4
二、填空题
7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________； (2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
能力提升
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则( )
A．以上四个图形都是正确的 B．只有(2)(4)是正确的 C．只有(4)是错误的 D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．
1．3．2 球的体积和表面积 答案
知识梳理
4
1．4πR2 4 2．πR3
3
作业设计
1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝
6π
r，再由体积公式求得体积比为3
6π．] 6
2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．] 3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于3a．]
4．C [由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，从而得体积之比为V1∶V2∶V3＝1∶22∶33．]
5．B [外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝a2＋b2＋c2(a、b、c分别是长、宽、高)．]
14
6．A [设球半径为r，圆锥的高为h，则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．]
33
7．4
解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的
42
周长，即2πR地球＝8，故R地球＝(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为4万里．
ππ
8．3 cm
4
解析 设球的半径为r，则36π＝πr3，可得r＝3 cm．
3
9．(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r．
4633
(1)当6a2＝4πr2时，V球＝πr3＝a>a＝V正方体；
3π
3π2432
(2)当a＝πr时，S球＝4πr＝6a<6a2＝S正方体．
36
10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须
1414
V圆锥≥V半球，V半球＝×πr3＝×π×43，
2323
3
111
V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h．
333114
依题意：π×42×h≥×π×43，解得h≥8．
323
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S圆锥侧＝πrl＝πrh2＋r2，
当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时， 制造的杯子最省材料．
11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积为
145
V＝V圆锥－V球＝π·(3r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆
333的半径为
31313h，从而容器内水的体积是V′＝π·(h)2·h＝πh3，由V＝V′，得h＝15r． 3339
3即容器中水的深度为15r．
12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．] 13．解 设正方体的棱长为a．如图所示．
①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及
a2
球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr21＝πa． 2
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝2a，22
r2＝a，所以S2＝4πr22＝2πa． 2
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，
32
r3＝a，所以S3＝4πr23＝3πa． 2
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．
最新高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.3.2 课时作业(含答案)
