最新人教版数学精品教学资料
1.3.2 球的体积和表面积
【课时目标】 1.了解球的体积和表面积公式.2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.3.培养学生的空间想象能力和思维能力.
1.球的表面积 设球的半径为R,则球的表面积S=________,即球的表面积等于它的大圆面积的________倍.
2.球的体积
设球的半径为R,则球的体积V=________.
一、选择题
1.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( )
6ππA. B. 622π3πC. D. 2π
2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( ) A.2倍 B.22倍
3
C.2倍 D.2倍
3.正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A.1∶3 B.1∶3 C.1∶33 D.1∶9
4.若三个球的表面积之比为1∶2∶3,则它们的体积之比为( ) A.1∶2∶3 B.1∶2∶3 C.1∶22∶33 D.1∶4∶7
5.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( )
A.25π B.50π
C.125π D.以上都不对
6.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的3倍,圆锥的高与球半径之比为( )
A.4∶9 B.9∶4 C.4∶27 D.27∶4
二、填空题
7.毛泽东在《送瘟神》中写到:“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8倍,则火星的大圆周长约________万里.
8.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是________.
9.(1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是________; (2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是________.
三、解答题
10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?
11.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
能力提升
12.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形,如图所示,则( )
A.以上四个图形都是正确的 B.只有(2)(4)是正确的 C.只有(4)是错误的 D.只有(1)(2)是正确的
13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算.
2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.
3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何问题转化为平面几何问题,运用方程思想与函数思想解决,融计算、推理、想象于一体.
1.3.2 球的体积和表面积 答案
知识梳理
4
1.4πR2 4 2.πR3
3
作业设计
1.A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a=
6π
r,再由体积公式求得体积比为3
6π.] 6
2.B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍,则体积扩大到原来的22倍.] 3.C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a,外接球的直径等于3a.]
4.C [由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3=1∶2∶3,从而得体积之比为V1∶V2∶V3=1∶22∶33.]
5.B [外接球的直径2R=长方体的体对角线=a2+b2+c2(a、b、c分别是长、宽、高).]
14
6.A [设球半径为r,圆锥的高为h,则π(3r)2h=πr3,可得h∶r=4∶9.]
33
7.4
解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍,日行8万里指地球大圆的
42
周长,即2πR地球=8,故R地球=(万里),所以火星的半径为万里,其大圆的周长为4万里.
ππ
8.3 cm
4
解析 设球的半径为r,则36π=πr3,可得r=3 cm.
3
9.(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a,球的半径为r.
4633
(1)当6a2=4πr2时,V球=πr3=a>a=V正方体;
3π
3π2432
(2)当a=πr时,S球=4πr=6a<6a2=S正方体.
36
10.解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须
1414
V圆锥≥V半球,V半球=×πr3=×π×43,
2323
3
111
V圆锥=Sh=πr2h=π×42×h.
333114
依题意:π×42×h≥×π×43,解得h≥8.
323
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm,高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为S圆锥侧=πrl=πrh2+r2,
当圆锥高取最小值8时,S圆锥侧最小,所以高为8 cm时, 制造的杯子最省材料.
11.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.
根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r,水面的半径为3r,则容器内水的体积为
145
V=V圆锥-V球=π·(3r)2·3r-πr3=πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆
333的半径为
31313h,从而容器内水的体积是V′=π·(h)2·h=πh3,由V=V′,得h=15r. 3339
3即容器中水的深度为15r.
12.C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆).] 13.解 设正方体的棱长为a.如图所示.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及
a2
球心作截面,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4πr21=πa. 2
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,2r2=2a,22
r2=a,所以S2=4πr22=2πa. 2
③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r3=3a,
32
r3=a,所以S3=4πr23=3πa. 2
综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.