2021届高三数学一轮复习——基本不等式的向量形式
[思维扩展]
波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．
a＋b
我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及≥ab(a，b∈R＋)是两个应用广泛的基本不等
2式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a－b)2＝|a－b|2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
a＋ba＋b但将≥ab(a，b∈R＋)简单地类比为≥a·b就不行了，由于该不等式左边为向
22量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
a＋ba＋b?2a＋b?2
注意到≥ab(a，b∈R＋)??≥ab(a，b∈R＋)，而不等式?2?2??2?≥a·b左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋4a·b≥4a·b可得
?a＋b?2≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立． ?2?这样，我们就得到如下两个结论：
定理1 设a，b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立． 定理2 设a，b是两个向量，则?
a＋b?2
?2?≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
例1 若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________． 9
答案 －
8
解析 方法一 由定理1得
32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b ≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，
9
所以a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立，
89
故a·b的最小值是－.
8方法二 由定理2得
?2a－b?2|2a－b|29
2a·(－b)≤??＝4≤4，
?2?
9
则a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立．
89
故a·b的最小值是－.
8
说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当λ>0时，a·bm2m2
的最大值为；当λ<0时，a·b的最小值为.
4λ4λ
例2 已知a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．
分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下． 1
答案 2
解析 引入正参数λ，
由(a＋b)·(a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则1－2b2＝a·b， 1212?λa＋b 1－2b2＝a·b≤?λ?2?11
λ＋b2?， ＝?2?λ?
1
当且仅当λa2＝b2，即b2＝λ2时等号成立．
λ1212?λa＋b 所以1－2λ2＝a·b≤?λ?2?11
λ＋·λ2?， ＝?2?λ?1解得λ＝|b|≥，
21
故|b|的最小值为.
2
例3 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求|c|的最大值．
解 由(a－c)·(b－c)＝0得c2＝c·(a＋b)， 由定理1及已知条件得 1
c2＝c·(a＋b)≤[c2＋(a＋b)2]
211
＝(c2＋a2＋b2)＝(c2＋2)， 22解得|c|2≤2，故|c|的最大值是2.
拓展1 已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|
1
的最大值是.
θcos(
2
拓展2 已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是m2＋n2.
→→→
例4 平面上三点A，B，C满足AB·BC>0，求AC2＋→→
→→?AB＋BC?21→2
解 由定理2得0 ?2?则 14→→ AC2＋≥AC2＋ →→→2AB·BCAC4→→2＝|AC|2＋≥2·|AC|·＝4， →2→|AC||AC| →→→→ 故当且仅当AB＝BC，且|AC|＝2时，AC2＋ 1→→AB·BC 取得最小值4. 的最小值． →→AB·BC1 例5 设a，b满足a2＋a·b＋b2＝3，求a2－a·b＋b2的取值范围． a2＋b2 解 由定理1得a·b≤， 23－a·b 所以a·b≤， 2解得a·b≤1. ?－a?2＋b2 又由定理1得(－a)·b≤， 2 a2＋b23－a·b 所以a·b≥－＝－，解得a·b≥－3. 22所以－3≤a·b≤1. 因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b， 所以1≤a2－a·b＋b2≤9. 以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．
2021届高三数学一轮复习——基本不等式的向量形式
