2013年高考理科数学试题解析（新课标Ⅰ）
第Ⅰ卷
一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A?x|x?2x?0,B?x|?5?x?5，则 ( ) A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A
D.A?B
(
)
?2???2.若复数z满足(3?4i)z?|4?3i|，则z的虚部为 A.?4 B.?4 5 C.4 D.
4 53.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该
地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
x2y254.已知双曲线C：2?2?1（a?0,b?0）的离心率为，则C的渐近线方程为
ab2111y??x C.y??x D.y??x y??xA. B.
4235.运行如下程序框图，如果输入的t?[?1,3]，则输出s属于
A.[?3,4] B.[?5,2] C.[?4,3] D.[?2,5]
6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，
当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A.
500?3cm 3B.
866?31372?2048?cm C. cm3 D. cm3 3337.设等差数列?an?的前n项和为Sn,Sm?1??2,Sm?0,Sm?1?3，则m? ( ) A.3 B.4 C.5 D.6
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
1
A．16?8? B．8?8? C．16?16? D．8?16? 9.设m为正整数，(x?y)2m2m?1展开式的二项式系数的最大值为a，(x?y)展开式的二项式系数的最大值
为b，若13a?7b，则m? ( ) A.5 B.6 C.7 D.8
x2y210.已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点。若AB的
ab中点坐标为(1,?1)，则E的方程为 ( )
x2y2??1 A.
4536
x2y2??1 B.
3627
x2y2??1 C.
2718x2y2??1 D.
189??x2?2x,x?011.已知函数f(x)??，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是
?ln(x?1),x?0A．(??,0] B．(??,1] C．[?2,1] D．[?2,0]
12.设?AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，?AnBnCn的面积为Sn，n?1,2,3,，若b1?c1,b1?c1?2a1，
an?1?an,bn?1?cn?anb?an，则( ) ,cn?1?n22
A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____. 14.若数列{an}的前n项和为Sn＝
21an?，则数列{an}的通项公式是an=______. 3315.设当x??时，函数f(x)?sinx?2cosx取得最大值，则cos??______
16.若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x??2对称，则f(x)的最大值是______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
1
(1)若PB=2，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
2
22
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。 20.(本小题满分12分)已知圆M:(x?1)?y?1,圆N:(x?1)?y?9,动圆P与M外切并且与
2222圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21.（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x?ax?b，g(x)＝e(cx?d)，若曲线y?f(x)和曲线
2xy?g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y?4x?2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
3
（Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=
，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
?x?4?5cost23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为?(t为参数），
y?5?5sint?以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?。 （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)=|2x?1|?|2x?a|,g(x)=x?3. （Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[?
a1，)时，f(x)≤g(x),求a的取值范围. 22参考答案
一、选择题
1． B. 2． D. 3． C.4．C.
5． A. 6． A. 7． C. 8． A. 9． B. 10． D. 11． D. 12．B
13．【解析】b11
c=b?[ta?(1?t)b]=ta?b?(1?t)b2=t?1?t=1?t=0，解得t=2.
22
21a1?，解得a1=1， 3314．【解析】当n=1时，a1=S1=
当n≥2时，an=Sn212212?Sn?1=an?－(an?1?)=an?an?1，即an=?2an?1，
333333n?1∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an=(?2)
4
.
15．【解析】∵f(x)=sinx?2cosx=5(525sinx?cosx) 55令cos?=525，sin???，则f(x)=5(sinxcos??sin?cosx)=5sin(x??)， 55当x??=2k???2,k?z，即x=2k???2??,k?z时，f(x)取最大值，此时?=2k???2??,k?z，∴
cos?=cos(2k??16．【解析】由0=0=
?2??)=sin?=?25. 5f(x)图像关于直线x=－2对称，则
f(?1)?f(?3)=[1?(?3)2][(?3)2?3a?b]，
f(1)?f(?5)=[1?(?5)2][(?5)2?5a?b]，解得a=8，b=15，
2∴f(x)=(1?x)(x2?8x?15)，
2∴f?(x)=?2x(x?8x?15)?(1?x2)(2x?8)=?4(x3?6x2?7x?2)
5)(x?2?5)
=?4(x?2)(x?2?当x∈(－∞,?2?当x∈(?2?5)∪(－2, ?2?5)时，f?(x)＞0，
5,－2)∪(?2?5,+∞)时，f?(x)＜0，
5）单调递增，在（?2?5，－2）单调递减，在（－2，?2?5）单调递增，∴f(x)在（－∞，?2?在（?2?5，+∞）单调递减，故当x=?2?5和x=?2?5时取极大值，f(?2?5)=f(?2?5)=16.
17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=
60o，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得
1177； PA2=3??2?3?cos30o=，∴PA=4242（Ⅱ）设∠PBA=?，由已知得，PB=sin?，在△PBA中，由正弦定理得，3sin??，化简得，
sin150osin(30o??)3cos??4sin?，
∴tan?=33，∴tan?PBA=. 4418．【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，
5
2013年高考数学理科试题及答案(新课标1卷)
