14．【解析】当n=1时，a1=S1=
21a1?，解得a1=1， 33当n≥2时，an=Sn212212?Sn?1=an?－(an?1?)=an?an?1，即an=?2an?1，
333333n?1∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an=(?2).
15．【解析】∵f(x)=sinx?2cosx=5(525sinx?cosx) 55令cos?=525，sin???，则f(x)=5(sinxcos??sin?cosx)=5sin(x??)， 55当x??=2k???2,k?z，即x=2k???2??,k?z时，f(x)取最大值，此时?=2k???2??,k?z，∴
cos?=cos(2k??16．【解析】由0=0=
?2??)=sin?=?25. 5f(x)图像关于直线x=－2对称，则
f(?1)?f(?3)=[1?(?3)2][(?3)2?3a?b]，
f(1)?f(?5)=[1?(?5)2][(?5)2?5a?b]，解得a=8，b=15，
2∴f(x)=(1?x)(x2?8x?15)，
2∴f?(x)=?2x(x?8x?15)?(1?x2)(2x?8)=?4(x3?6x2?7x?2)
5)(x?2?5)
=?4(x?2)(x?2?当x∈(－∞,?2?当x∈(?2?5)∪(－2, ?2?5)时，f?(x)＞0，
5,－2)∪(?2?5,+∞)时，f?(x)＜0，
5）单调递增，在（?2?5，－2）单调递减，在（－2，?2?5）单调递增，∴f(x)在（－∞，?2?在（?2?5，+∞）单调递减，故当x=?2?5和x=?2?5时取极大值，f(?2?5)=f(?2?5)=16.
17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=
60o，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得
1177； PA2=3??2?3?cos30o=，∴PA=4242 6
（Ⅱ）设∠PBA=?，由已知得，PB=sin?，在△PBA中，由正弦定理得，3sin?，化简得，?oosin150sin(30??)3cos??4sin?，
∴tan?=33，∴tan?PBA=. 4418．【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，
∵AB=AA1，?BAA1=60，∴?BAA1是正三角形，
∴A1E⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵CE?A1E=E，∴AB⊥面CEA1， ∴AB⊥AC1； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，EA1⊥AB，
又∵面ABC⊥面ABB1A1，面ABC∩面ABB1A1=AB，
∴EC⊥面
0ABB1A1，∴EC⊥EA1，
????????∴EA，EC，EA1两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示
空间直角坐标系O?xyz，
????????????有题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，3）,BB1=AA1=(－????1,0,3),AC1=(0,－3,3), ……9分
设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量，
???????n?BC?0?x?3z?0则?，即?，可取n=（3，1，-1）， ???????n?BB1?0?x?3y?0????????n?A1C10????∴cosn,A1C=， |n||A1C|5∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
10. ……12分 57
19．【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥， ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C4(（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且 P(X=400)=1-C4(∴X的分布列为
X P 400 500 800 33121141413)??()+()?=.…6分 22222641311411111313)??()=，P(X=500)=，P(X=800)=C4()?=， 222161622411 161 161 4 ……10分 EX=400×
20．【解析】由已知得圆M的圆心为M（-1，0）,半径r1=1，圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P（x，
1111+500×+800×=506.25 ……12分 16164y），半径为R.
?R)=r1?r2=4，
3的椭圆(左顶点除外)，其方程为
（Ⅰ）∵圆P与圆M外切且与圆N内切，∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为x2y2??1(x??2). 43（Ⅱ）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R?2≤2，∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2. ∴当圆P的半径最长时，其方程为(x?2)当l的倾斜角为90时，则l与
002?y2?4，
y轴重合，可得|AB|=23. |QP|R=，可求得Q（-4，0），
|QM|r1当l的倾斜角不为90时，由r1≠R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则
∴设l：y?k(x?4)，由l于圆M相切得|3k|1?k2?1，解得k??2. 4x2y222?4?62?1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0，解得x1,2=当k=时，将y?，x?2代入?43447∴|AB|=1?k|x1?x2|=
218. 78
当k=－218时，由图形的对称性可知|AB|=， 4718或|AB|=23. 7综上，|AB|=
21．【解析】（Ⅰ）由已知得而
f(0)?2,g(0)?2,f?(0)?4,g?(0)?4，
f?(x)=2x?b，g?(x)=ex(cx?d?c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2；……4分
f(x)?x2?4x?2，g(x)?2ex(x?1)，
， f(x)=2kex(x?1)?x2?4x?2（x??2）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设函数F(x)=kg(x)?F?(x)=2kex(x?2)?2x?4=2(x?2)(kex?1)，
有题设可得F(0)≥0，即k?1， 令F?(x)=0得，x1=?lnk，x2=－2， （1）若1?k在
?e2，则－2＜x1≤0，∴当x?(?2,x1)时，F(x)＜0，当x?(x1,??)时，F(x)＞0，即F(x)(?2,x1)单调递减，在(x1,??)单调递增，故F(x)在x=x1取最小值F(x1)，而
F(x1)=2x1?2?x12?4x1?2=?x1(x1?2)≥0，
∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立， (2)若k?e2，则F?(x)=2e2(x?2)(ex?e2)，
∴当x≥－2时，F?(x)≥0，∴F(x)在(－2,+∞)单调递增，而F(?2)=0， ∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立， (3)若k?e2，则F(?2)=?2ke?2?2=?2e?2(k?e2)＜0，
∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立， 综上所述，k的取值范围为[1,e]. 22．【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.
2
9
由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE， 又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90，由勾股定理可得DB=DC.
0（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG=3. 2设DE中点为O，连结BO，则∠BOG=60，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30，
oo∴CF⊥BF， ∴Rt△BCF的外接圆半径等于3. 223. 【解析】将??x?4?5cost22消去参数t，化为普通方程(x?4)?(y?5)?25，
?y?5?5sint?x??cos?22即C1：x?y?8x?10y?16?0，将?代入x?y?8x?10y?16?0得，
?y??sin?22?2?8?cos??10?sin??16?0，
∴C1的极坐标方程为?2?8?cos??10?sin??16?0；
2（Ⅱ）C2的普通方程为x?y2?2y?0，
22??x?1?x?0???x?y?8x?10y?16?0由?解得?或?，∴C1与C2的交点的极坐标分别为（2,），(2,).
2242??y?1?y?2?x?y?2y?024．【解析】当a=-2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x?1|?|2x?2|?x?3?0，
1??5x, x??2?1?设函数y=|2x?1|?|2x?2|?x?3，y=??x?2, ?x?1，
2??3x?6, x?1??其图像如图所示
从图像可知，当且仅当x?(0,2)时，y＜0，∴原不等式解集是{x|0?x?2}.
（Ⅱ）当x∈[?
a1，)时，f(x)=1?a，不等式f(x)≤g(x)化为1?a?x?3， 2210
2013新课标1卷高考数学理科试题及答案
