2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）
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第Ⅰ卷
一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A?x|x?2x?0,B?x|?5?x?5，则 ( ) A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A
D.A?B
(
)
?2???2.若复数z满足(3?4i)z?|4?3i|，则z的虚部为 A.?4 B.?4 5 C.4 D.
4 53.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该
地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
x2y254.已知双曲线C：2?2?1（a?0,b?0）的离心率为，则C的渐近线方程为
ab2A.y??111x B.y??x C.y??x D.y??x
2435.运行如下程序框图，如果输入的t?[?1,3]，则输出s属于
A.[?3,4] B.[?5,2] C.[?4,3] D.[?2,5]
6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，
当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A.
500?cm3 3B.
866?1372?2048?cm3 C. cm3 D. cm3 3337.设等差数列?an?的前n项和为Sn,Sm?1??2,Sm?0,Sm?1?3，则m? ( )
1
A.3 B.4 C.5 D.6
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．16?8? B．8?8? C．16?16? D．8?16? 9.设m为正整数，(x?y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x?y)2m?1展开式的二项式系数的最大值
为b，若13a?7b，则m? ( ) A.5 B.6 C.7 D.8
x2y210.已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点。若AB的
ab中点坐标为(1,?1)，则E的方程为 ( )
x2y2??1 A.
4536
x2y2??1 B.
3627
x2y2??1 C.
2718x2y2??1 D.
189??x2?2x,x?011.已知函数f(x)??，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是
?ln(x?1),x?0A．(??,0] B．(??,1] C．[?2,1] D．[?2,0]
12.设?AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，?AnBnCn的面积为Sn，n?1,2,3,?，若b1?c1,b1?c1?2a1，
an?1?an,bn?1?cn?anb?an,cn?1?n，则( ) 22
A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____. 14.若数列{an}的前n项和为Sn＝
21an?，则数列{an}的通项公式是an=______. 3315.设当x??时，函数f(x)?sinx?2cosx取得最大值，则cos??______
16.若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x??2对称，则f(x)的最大值是______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2
2217.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
1
(1)若PB=2，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。 20.(本小题满分12分)已知圆M:(x?1)?y?1,圆N:(x?1)?y?9,动圆P与M外切并且与
2222圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21.（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x?ax?b，g(x)＝e(cx?d)，若曲线y?f(x)和曲线
2xy?g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y?4x?2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。
3
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=
，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为??x?4?5cost(t为参数），
?y?5?5sint以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?。 （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)=|2x?1|?|2x?a|,g(x)=x?3. （Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[?
a1，)时，f(x)≤g(x),求a的取值范围. 22参考答案
一、选择题
1．【解析】A=(-?,0)∪(2,+?), ∴A∪B=R,故选B.
|4?3i|442?32(3?4i)342．【解析】由题知z===?i，故z的虚部为，故选D.
3?4i5(3?4i)(3?4i)553．【解析】因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.
5c2a2?b2b1b21c51?C4．【解析】由题知，?，即=2=，∴=，∴=，∴的渐近线方程为y??x，224aa2aa4a22故选C.
4
5．【解析】有题意知，当t?[?1,1)时，s?3t∴输出s属于[-3,4]，故选A.
?[?3,3)，当t?[1,3]时，s?4t?t2?[3,4]，
6．【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则
4??53500??cm3，故选A. R?(R?2)?4，解得R=5，∴球的体积为
332227．【解析】有题意知Sm=
m(a1?am)=0，∴a1=－am=－（Sm-Sm?1）=－2，
2am?1= Sm?1-Sm=3，∴公差d=am?1-am=1，∴3=am?1=－2?m，∴m=5，故选C.
8．【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为
1??22?4?4?2?2 =16?8?，故选A. 2mm?1mm?19．【解析】由题知a=C2m，b=C2m?1，∴13C2m=7C2m?1，即
解得m=6，故选B.
10．【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2=2，y1?22x12y12x2y2??1 ① 2?2?1 ② a2b2ab13?(2m)!7?(2m?1)!=， (m?1)!m!m!m!y2=－2，
①－②得
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0， 22ab0?11b2(x1?x2)b2b21y1?y222222∴kAB==?2=2，又kAB==，∴2=，又9=c=a?b，解得b=9，a=18，
a(y1?y2)a3?12a2x1?x2x2y2??1，故选D. ∴椭圆方程为
189?x2?2x,x?0?x?0?x?011．【解析】∵|f(x)|=?，∴由|f(x)|≥ax得，?2且?，
ln(x?1)?axln(x?1),x?0x?2x?ax???由??x?0?x?2x?ax2可得a?x?2，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当a=1时，易证ln(x?1)?12．B
x对x?0恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D.
c=b?[ta?(1?t)b]=ta?b?(1?t)b=13．【解析】b?211
t?1?t=1?t=0，解得t=2. 22
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2013新课标1卷高考数学理科试题及答案
