考点41 圆的方程
【题组一 圆的方程】
1．圆心为?1,?2?，且与x轴相切的圆的标准方程为 。
22【答案】?x?1???y?2??4
【解析】因为圆心为?1,?2?，圆与x轴相切，所以圆的半径为2，
22所以圆的标准方程为?x?1???y?2??4，
2．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程． 【答案】x2+y2﹣6x﹣6y+8=0
?4+2D?F?0①?22
【解析】设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，则有?16?4D?F?0②
?2E?F?4?0③?②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6 代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8 代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6
∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=0
y2x23．一个圆经过椭圆??1的三个顶点，且圆心在y轴的负半轴上，则该圆的标准方程为_____.
93【答案】x2??y?1??4
222yx【解析】因为圆心在y轴的负半轴上，且圆经过椭圆??1的三个顶点，
93所以该圆过椭圆的左顶点?3,0，右顶点
???3,0和下顶点?0,?3?.设圆心坐标为?0,m?，m?0 ，半
?
径为r，
??3?02?0?m2?r2???m??1?2??所以? ，所以圆的标准方程为x2??y?1??4. ?r?2??0?0?2???3?m?2?r2?故答案为x2??y?1??4
2??4．经过二次函数y?x?3x?2与坐标轴的三个交点的圆的方程为__________.
23??3?5?【答案】?x????y??? 2??2?2?【解析】令x?0，则y?2；令y?0，则x?1或x?2，
所以二次函数y?x?3x?2与坐标轴的三个交点为?0,2?、?1,0?、?2,0?，
222设圆的方程为?x?a???y?b??r2，
223?a???a2??2?b?2?r22?22?32??33522????则??1?a??b?r，解得?b?，所以圆的方程为?x????y???.
22??2?2???2222?a?b?r???25???r?2?3??3?5?故答案为：?x????y???. 2??2?2?5．已知圆x?y?12x?16y?96?0圆心为C，则以OC为直径的圆的标准方程为_____. O为坐标原点，
222222【答案】?x?3???y?4??25
【解析】圆C的标准方程为?x?6???y?8??4，则点C?6,?8?，
22
线段OC的中点为M?3,?4?，且OC?62???8??10，
222因此，以OC为直径的圆的标准方程为?x?3???y?4??25. 故答案为：?x?3???y?4??25.
226．若方程x?y?x?y?m?0表示一个圆，则实数m的取值范围是______.
22【答案】???,??1?? 2?22【解析】根据题意，方程x?y?x?y?m?0表示一个圆，
则有1?1?4?m?0，解的m?1?1?1??，即m的取值范围为???,?；故答案为：???,?．
2?2?2??
【题组二 点与圆的位置关系】
1．点(1,)在圆x2?y2?2y?m2?m?1?0外，则实数m的取值范围是__________ 1【答案】(?1，?)23(,2) 232【解析】因为方程x2?y2?2y?m2?m?1?0表示圆，
所以(?2)2?4(m2?m?1)?0， 得m2?m?2?0，解得?1?m?2．
因为点(1,)在圆x2?y2?2y?m2?m?1?0外， 32322所以1?()?2??m?m?1?0，
2232
即4m2?4m?3?0，解得m??31或m?．
223(,2)． 21综上，实数m的取值范围是(?1，?)21故答案为：(?1，?)23(,2)． 22．过点P??5,0?作直线?1?2m?x??m?1?y?4m?3?0?m?R?的垂线，垂足为M，已知点N?3,11?，则MN的取值范围是______.
?【答案】??13?10,13?10?
【解析】由直线?1?2m?x??m?1?y?4m?3?0?m?R?化为m?2x?y?4???x?y?3??0，
令??2x?y?4?0?x?1，解得?，所以直线过定点Q?1,?2?，因为M为垂足，所以?PQM为直角三角
?x?y?3?0?y??2形，斜边为PQ，所以M在以PQ为直径的圆上运动，由点P??5,0?可知以PQ为直径的圆圆心为
C??2,?1?，半径为r???5?1???0?2?222?10，
则MN的取值范围CN?r?MN?CN?r，又因为CN??3?2???11?1?22?13，
???所以MN的取值范围是??13?10,13?10?.故答案为：?13?10,13?10?.
|????|3．过点??(?3,0)作直线2??+(??+1)??+2??=0(??∈??)的垂线，垂足为M，已知点??(3,2)，则当??变化时，的取值范围是( ) A．[0,5+√5] 【答案】B
【解析】直线2??+(??+1)??+2??=0(??∈??)，即(2??+??)+??(??+2)=0， 由{??+2=0 ，求得{??=?2 ，直线经过定点??(1,?2)．
2??+??=0
??=1
B．[5?√5,5+√5] C．[5,5+√5] D．[5?√5,5]
由△??????为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动， 可得圆心为PQ的中点??(?1,?1)，半径为??=2|????|=√5，
则??(2,3)与M的最大值为????+??=√(2+1)2+(3+1)2+√5=5+√5， 则??(2,3)与M的最小值为???????=√(2+1)2+(3+1)2?√5=5?√5， 故MN的范围为：[5?√5,5+√5]，故选：B． 【题组三 直线与圆】
1．圆(x?1)?(y?2)?4与直线3x?4y?5?0的位置关系为（ ） A．相离 【答案】B
【解析】因为圆(x?1)?(y?2)?4，圆心坐标为??1,2?，r22221
B．相切 C．相交 D．不确定
2，
则圆心到直线3x?4y?5?0的距离d??1?3?4?2?53?422?2?r，所以直线与圆相切
故选：B
2．“k?322”是“直线l:y?k(x?2)与圆x?y?1相切”的 3B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A
【解析】因为直线l:y?k(x?2)与圆x?y?1相切，所以22|2k|k2?1?1,?k??3. 3
考点41 圆的方程——2021年高考数学专题复习真题附解析
