山东省滕州一中2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
2 i 1.复数 C. 1 的虚部为（ ） A. D. 2
i 2
B. 1
y 2.曲线
A. 3 2 sin x 在 x 6
B.
2 处的切线的斜率为（ 1
1C.
2
） 3 D.
2
3.为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机 使用者进行统计，统计结果如下表：
年龄 手机 华为 40 苹果 20 25 45 2 合计 60 40 100 0.10 品 牌 30 岁以上 30 岁以下（含 30 15 岁） 合计 附：
55 K 2
(a
n(ad b)(c bc)2 P（ K ??k ） 0 0.05 0.010 0.001 k 0 2.706 3.841 6.635 10.828 d )(a c)(b d ) 根据表格计算得 k 8.249 ，据此判断下列结论正确的是（ ） K2 的观测值
A. 没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关” B. 可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
C. 可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关” D. 可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”
4.甲、乙、丙、丁 4 个人跑接力赛，则甲乙两人必须相邻的排法有（ ） A. 6 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 24 种
3 2 1 2 的极值点是（ 5. 函数 f x x）
A． x B． x C． x 1 或 1或 0 D． x 0
^ ^
2 1 6. 已知一组样本点 (xi , yi ) ，其中 i＝1,2,3，…，30.根据最小二乘法求得的回归方程是y＝bx ^
＋a，则下列说法正确的是( )
^ ^ ^
A．若所有样本点都在y＝bx＋a上，则变量间的相关系数为 1
^ ^ ^
B．至少有一个样本点落在回归直线y＝bx＋a上
^ ^
C．对所有的预报变量 xi (i＝1,2,3，…，30)，b xi ＋a的值一定与 yi 有误差
^ ^ ^ ^
D．若y＝bx＋a斜率b>0，则变量 x 与 y 正相关
7.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之 和不大于 8 的概率为（ ）
5 2 1 4
A. B. C. D.
9 9 3 3 2 n 3 )的展开式中，仅有第 9 项的二项式系数最大，则展 ( x 8. 已知在二项式
x
开式中，有理项的项数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 9.新高考科目设置采用新模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的 问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结 论： ①样本中的女生更倾向于选历史； ②样本中的男生更倾向于选物理； ③样本中的男生和女生数量一样多；
④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量. 根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（ ）
A. 1 个 10.函数 f B. 2 个 的部分图象大致为（ ）
C. 3 个
D. 4 个
2
x A.
4 ln xx
B. C. D.
11.2019 年 4 月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门
将 5 个不同的安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保 小组的排法有（ ） A. 150 种 B. 240 种 C. 300 种 D. 360 种 12. 设 函数上
，若 A、 D、
B、 在 上存在导数 ， ，有 ，在 ，则实数 的取值范围为（ C、 ）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
X N 1,2 P 2 X 1 0.4 ，则 P X 13.已知随机变量 ，且 2
.
14.设复数 Z1
4i ，则 Z1Z2 = .
1 ， 6
15. 已知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B . 3 ，则 P(ξ＝2)的值为
a 3 a 2
16. 若不等式 x x 1 0 有且只有 1 个正整数解，则实数 a 的取值范围是 .
3 2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
1
3
17.（本题 10 分）已知 1 a
（1）求 m；
mx 10
0 2i , Z2
1 a x 2 a x 2
中，且 m 0 ，10
L a x10
a6 14a3
0 .
a2 （2）求
a4 a6 a8
xea a10
x bx ，曲线 y f (x) 在点 (2, f 18.（本题 12 分）设函数 f (x)
(2)) 处的切线方程为
(e 1)x 4 。
（1）求 a,b 的值；（2）求 f (x) 的单调区间。
19. （本题 12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已 成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全 校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅 使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额?元?? 支付方式 仅使用 A 仅使用 B (0,1 000] 18 人 10 人 y (1 000,2 000] 9 人 14 人 大于 2 000 3 人 1 人 (1)1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率； 从全校学生中随机抽取 (2)从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1 000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
20.（12 分）已知函数 f xln x ax 1 .
x 0 ；x 在2, 3 a 1 时，证明： f （1）当 （2）若 f 的最大值为 2，求 a 的值.
21. （12 分）若关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费 y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 若由资料知，y 对 x 呈线性相关关系． 5.5 6.5 7.0 ^ ^ ^
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y＝bx＋a； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？(精确到两位小数) (3)计算残差$e
y 附：回归直线 1
n
(xi x)( yi y)
x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 i ????
； n
y
x .
22.（12 分）已知函数 f
x x ex a
. （1）若 x 1 是 f x 的一个极值点，判断 f （2）若 f x 有两个极值点 x1 ， x2 ，且 x1 4 .
i 1
(xi
x 的单调性；
x2 ，证明： x1 x)2 x2
滕州一中高二数学月考参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1~5 ADCBD 12【解析】 令 g 6~10DDCBA 1 2
x, g 11~12 AB
f xx2
x 在 (x)
f
xxf 为奇函数，
xx2
0 ， g g x0
xf 上 g '， g x xx, 4
在 上递减，在
减，由
可得
2 ，即实数
, 0上也递
g 0
0 知， g 在 R 上递减，
g 4 m，故选 B.
g mm m, m 的取值范围为 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.【答案】0.9 14.【答案】 5
5
16.【详解】令 f x
80
15.【答案】
243
16. 【答案】 6,
a 3 a 2 x x1 （ ，则 f x 0 ）2
x ax
2
ax ax x 1 .
3
a 0 时，由 f 当
1 ； f 所以
x 在 0,1
x 0 得 0 x 1 ；由 f x 0 得 x 单调递增，在 1, 0 时，有1
单调递减，
不合题意，舍去； 当 a 当 a 0 时，由 f 0 得 0
递减，在 1,
0 ，显然不成立；
1 ；由 f 在 0,1
x 0 得 x x 单调
x f 1 ； 所以
单调递增，
x 依题意，需
f 13 2a 8a 2
a 1 0, 6 ，
0,
f
23
解得 a 4a 1
故实数 a 的取值范围是 6, .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.【详解】（1）因为 a i 10 C
i mi ， i 1, 2, 3L10 ，
依题意得： C0
6 6
m14C1
3 3
mm3 0 ，
4
10392
81 37 3
m14
1098
10 0
21
因为 m
（2）
12x
0 ，所以 m3 10
m 8 ，得
2 10
? L+a10 x
2 .
a0 a1x x
a2
10
令 x 1 得： a 令 x 得： a 由①
即 a ? a ? a a a a 0 2 4 6 8 10 又 a 0
所以 a2
0
C10
20
1， 1
10 10 331 a8 a10 2 2
2 a ? a ②得： a a a a
0 2 4 6 8 10
1
1
a
0 1 2
? a ? a 3
a
? a 5
4
a
a ? a 7
8
6
a
a 1 2 1.①
9 10
? a 0 1 2 3
a
? a a
? a 4 5
a
a ? a 6 7 8 9 10
310 ，
a
a 1 2
10
10
3.②
1
103 . 2a4 a6
1 29524
18. 解：（1）因为 f (x) xea x bx ，所以 f ' (x) (1 x)ea x b ，
2ea 2 2b 2e 2 ，解得 a 依题设 ，即
' ea 2 f (2) e 1 b e 1
f (2) 2e 2
2,b e .
（2）由（1）知 f (x)
x 及 x e2
同号，令 g(x) (
1 x ,1) 时，g ' (x)
ex ，由 f ' (x) (1
0 知，f ' (x) 与1 x ex 1
ex 1 ，则 g ' (x)
1 ex 1 0 ，
1
xe2
x x e x 1 )e2
ex 1 ，所以当 x g(x) 在 (,1) 上单调递减；当 x (1,
) 时， g ' (x)
1 是 g(x) 在 (
1 ,
ex 1
) 上的最
0 ， g(x) 在 (1, 小值，从而 g(x) 综上可知 f ' (x)
) 上单调 递增，故 g(1) 0 ， x (0 ， x (
, , , ) ) ， )
故 f (x) 的单调递增区间为 (
19. 解：(1)由题意知，样本中仅使用 A 的学生有 18＋9＋3＝30(人)，仅使用 B 的学生有 10 ＋14＋1＝25(人)，A，B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人，
故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 100－30－25－5＝40(人)． 所以从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率估计 40
为 ＝0.4. 100
(2)X 的所有可能值为 0,1,2.
记事件 C 为“从样本仅使用 A 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额大于 1 000 元”，事件 D 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额
大于 1 000 元”．
14＋1
9＋3
由题设知，事件 C，D 相互独立，且 P(C)＝＝0.4，P(D)＝0.6，
25 ＝
30 所以 P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24， P(X＝1)＝P(C D ∪ C D) ＝P(C)P( D )＋P( C )P(D) ＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6 ＝0.52，
X P 0 0.24 1 0.52 2 0.24 P(X＝0)＝P( C
D )＝P( C )P( D )＝0.24.
所以 X 的分布列为：
故 X 的数学期望 E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. 20.【详解】解：（1） f 当 a ， x 的定义域为 0, 1 时， f x1
ln x x 1， f 令 f x0 ，得 0 0 ，得 x x x .
x
x x 1 ，令 f f 1 ； 所以 x 在
0,1单调递增，在 1, max
f 1
1
单调递减. 0 ，即 f f 所以
x
xax ，
0 .
（2） f xx 1 3
2 ，
a 在
1
x x 2, 3
单调递增，它的最大值为 f 3
ln 3
时， f （i）当 a 1 3a ln 3 1 1
所以 a 符合题意；
3 3
1 （ii）当
3
它的最大值为 f ln
1
解得 a 1
（不合，舍去）；
1 1
1
1
2 ，
1 1 a , 3时， f 单调递增，在
a x 在 2,
2 a 1 单调递减，
a a
2
e 3
1
（iii）当 a 时， f 2a 1 2 ，
2
x 在2, 3单调递减，它的最大值为 f 2ln 2
ln 2 1 ln 3
所以 a 0 （不合，舍去）；综上，a 的值1 为 .
2 3
21. 解：(1)列表如下.
i xi yi 1 2 2.2 2 3 3.8 11.4 3 4 5.5 22.0 4 5 6.5 32.5 5 6 7.0 42.0 xiyi 4.4
由题意得 x ＝4， y ＝5，错误!2＝90，错误! y ＝112.3，
i i i 112.3－5×4×5
＝1.23， ∴b＝错误!＝
90－5×42 ^ ^
∴a＝ y －bx ＝5－1.23×4＝0.08. ^^所以，回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.
^(2)当 x＝10 时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用 10 年时维修 费约为 12.38 万元． （3）$e 2 =y2 22.【分析】
$y 3.8 (1.23 3 0.08) 0.03
2
a ，确定 f （1）求出导函数，由极值点求出参数
（2）求出 f (x) a ，得极值点 所以
x
1
(x) 的正负得 f (x) 的单调性；
ex (1
x)
满足： x1 , x2
x 1ex1 a 0,
x 1ex2 a 0,
x1e1 x
2
x1e2 a ，由（1）即 g
，不妨x g x
x 设
2 1 2 1 4
x
2 .要证 2
x1 x2 4 ，则只要证 x2 x1 ，而 4 x1
2 ，因此由
g(x) 的单调性，只要能证 g(x2 )
即可．令 h 结论成立．
g(4
g x1 ) ，即 g(x1 )
4
g(4
x1 )
x g x x ，利用导数 的知识可证得
x x 1 ex 【详解】（1）由已知得 f
因为 x 1 是 f a . 1
2e
x 的一个极值点，所以 f a 2e ，
0 ，即 a 2e ， 所以 f x x 1
ex g 令 g令
x x0 ，得 x x 1
ex ，则 gx x 在
,
x 2
ex ，
0 ，得 x g2 ，令
xg 2 ； 所以
2,
2单调递减，在 单调递增， 又当 x 0 ， g 1
2e ，
1
g 1时，
所以当 x 时， f ,1
x1时， f x 0 ； 即 f 0 ，当 x x x 在
单调递减，在 1,
单调递增. 满足：
x1 , x2
（2） f (x) ea ，因此极值点 所以
x
x (1
x)
x 1ex1 a 0,
x 1ex2 a 0,
2
1 ex1 1 ex2 由（1）即 g x ，不妨
x x x g 设 1 2 1 2 1 2 2
x .
x1 要证 x2 4 ，则只要证 x2
4
x1 ，而 4 x1
2 ，因
g(x2 ) g(x) 的单调性，只要 能证 此由
x1 ) 即可． h 令
则 hg(4
x1 ) ，即 g(x1 )
g(4
x g x x
g 4 2 xe
x 4
， x x 2
e
x x 2e
x e4
x ，
当 x e2
4
2 时， x 2
0 ， x 4
x ， ex x在
,
x ，所以 hx2
0 ， 即 h 0 ，
h 单调递增，又 x1
h g g 4 4
h 所以
x1
g 2
x1
g 0 ， 所以 g 4
x1
x1 x1
g ，即
，
x2
x2 又
2 ， 4
x1
2 ， g 4
x在 2,
x2 单调递增， 所以 x2
4 .
x1 ，即 x1
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