实变函数试题
一，填空题
??1. 设An??,2?,
?n?1n?1,2?,
An????????????????. 则limn??2. ?a,b?????,???,因为存在两个集合之间的一一映射为
??????????
1??cos,x?0y??2x3. 设E是R中函数的图形上的点所组成的
??0,????????x?0??E????????????????????????E集合，则，????????????????????????. n4. 若集合E?R满足E??E, 则E为???????????????????????集.
5. 若??,??是直线上开集G的一个构成区间, 则??,??满足:
????????????????????????????????????????, ????????????????????????????????????????.
6. 设E使闭区间?a,b?中的全体无理数集, 则
mE?????????????????.
?7. 若mE??fn(x)?f(x)??0, 则说?fn(x)?在E上????????????????.
nn8. 设E?R, x0?R,若????????????????????????????????????????,则称x0是
E的聚点.
9. 设?fn(x)?是E上几乎处处有限的可测函数列, f(x)是E上 几乎处处有限的可测函数, 若???0, 有
?????????????????????????????????
, 则称?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x).
10. 设fn(x)?f(x),x?E, 则??fn(x)?的子列fnj(x), 使得????????????????????????????????????????.
二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若A,B可测, A?B且A?B,则mA?mB. 2. 设E为点集, P?E, 则P是E的外点.
??1??3. 点集E??1,2,?n,??的闭集.
??4. 任意多个闭集的并集是闭集.
n5. 若E?R,满足m*E???, 则E为无限集合.
三, 计算证明题
1. 证明:A??B?C???A?B???A?C?
3
MR2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,
有理数为半径的球的全体, 证明M为可数集.
n3. 设E?R,E?Bi且Bi为可测集, i?1,2?.根据题意, 若
有
m*?Bi?E??0,???i???, 证明E是可测集.
3?ln1?x,?????????x?P???4. 设P是Cantor集, f(x)??2.
x,?????????????????????x?0,1?P????求(L)?0f(x)dx.
3xx5. 设函数f(x)在Cantor集P中点上取值为, 而在P00的
1
11余集中长为3n的构成区间上取值为6n, ?n?1,2??, 求
?10f(x)dx.
1nx3lim(R)sin6. 求极限: n???01?n2x3nxdx.
实变函数试题解答
一 填空题 1. ?0,2?.
????2. ?(x)?tan?b?a?x?a??2?,x??a,b?.
???1?3. ?(x,y)y?cosx,x?0??(0,y)y?1; ?. ????4. 闭集.
5. ??,???G.????G,????G. 6. b?a.
7. 几乎处处收敛于f(x) 或 a.e.收敛于f(x). 8. 对???0,??U(x0,?)有?E??x0????.
0mE?fn(x)?f(x)????0 9. lim??n??10. fn(x)?f(x)??a.e.于E. 二 判断题
1. F. 例如, A?(0,1), B??0,1?, 则A?B且A?B,但
mA?mB?1.
2. F. 例如, 0?(0,1), 但0不是(0,1)的外点. 3. F. 由于E???0??E.
1??14. F. 例如, 在R 中, Fn??n,1?n?, n?3,4?是一系列
??1的闭集, 但是?Fn?(0,1)不是闭集.
n?3?5. T. 因为若E为有界集合, 则存在有限区间I, I???,
**mE?mI?I???,??于m*E?????. E?I使得, 则
三, 计算证明题. 1. 证明如下:
A??B?C??A??B???SC?B??SC?????????????????????A??S?B?C??????????????????????A??SB???A?C??????????????????????A?B???A?C?
????????????????????A??S
2. M中任何一个元素可以由球心(x,y,z), 半径为r唯一确定, x,y, z跑遍所有的正有理数, r跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M为可数集.
Bi, 则E?B?Bi且B为可测集, 于是对于?i, 3. 令B?i??1都有B?E?Bi?E, 故
?0?m*?B?E??m*?Bi?E?,
*mi??令, 得到?B?E??0, 故B?E可测. 从而
E?B??B?E?可测.
4. 已知mP?0, 令G??0,1??P, 则
(L)?f(x)dx?(L)?ln?1?x3?dx?(L)?x2dx0PG1?????????????????????????(L)?f(x)dxG???????????????????????(L)?x2dx?(L)?x2dxPG???????????????????????(R)?f(x)dx01x???????????????????????33101?3
.
5. 将积分区间?0,1?分为两两不相交的集合: P0, G1, G2?,
1其中P0为Cantor集, Gn是P0的余集中一切长为n的构成3区间(共有2n?1个)之并. 由L积分的可数可加性, 并且注意到
题中的mP0?0, 可得
实变函数测试题与答案
