2019人教版精品教学资料·高中选修数学
1.1.3 导数的几何意义
预习课本P6~8,思考并完成下列问题
(1)导数的几何意义是什么?
(2)导函数的概念是什么?怎样求导函数?
(3)怎么求过一点的曲线的切线方程?
[新知初探]
1.导数的几何意义
(1)切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=li m →
Δx0
f?x0+Δx?-f?x0?
=f′(x0).
Δx
2.导函数的概念
(1)定义:当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数). (2)记法:f′(x)或y′,即f′(x)=y′=li m →
Δx0
f?x+Δx?-f?x?
.
Δx
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.( ) (2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( ) (3)函数f(x)=0没有导函数.( ) 答案:(1)× (2)× (3)×
2.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( ) A.不存在 C.与x轴垂直 答案:B
3.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f′(1)=( ) A.4 C.-2 答案:D
4.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,在x轴和y轴这两条直线中,只有________是它的切线,而______不是它的切线.
答案:y轴 x轴
求曲线的切线方程
14
[典例] 已知曲线C:y=x3+,求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程.
33[解] 将x=2代入曲线C的方程得y=4, ∴切点P(2,4).
1414?2+Δx?3+-×23-3333Δy
y′|x=2=li m =li m
ΔxΔx→0ΔxΔx→012
=li m [4+2·Δx+(Δx)]=4.
3Δx→0∴k=y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.
1.过曲线上一点求切线方程的三个步骤
B.-4 D.2
B.与x轴平行或重合 D.与x轴斜交
2.求过曲线y=f(x)外一点P(x1,y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0,f(x0)).
→0 (2)利用所设切点求斜率k=f′(x0)=liΔxm(3)用(x0,f(x0)),P(x1,y1)表示斜率. (4)根据斜率相等求得x0,然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程.
(6)将切线方程化为一般式. [活学活用]
过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程为( ) A.x-y-2=0或5x+4y-1=0 B.x-y-2=0
C.x-y-2=0或4x+5y+1=0 D.x-y+2=0
解析:选A 显然点(1,-1)在曲线y=x3-2x上, →0 若切点为(1,-1),则由f′(1)=liΔxm?1+Δx?3-2?1+Δx?-?-1?
=li m
ΔxΔx→0
2
=li m [(Δx)+3Δx+1]=1, →
Δx0
f?x0+Δx?-f?x0?
. Δx
f?1+Δx?-f?1?
Δx
∴切线方程为y-(-1)=1×(x-1),即x-y-2=0. 若切点不是(1,-1),设切点为(x0,y0),
3
y0+1x3?x0-x0?-?x0-1?0-2x0+1则k===
x0-1x0-1x0-12
=x0+x0-1,
又由导数的几何意义知 k=f′(x0)=li m →
Δx0
f?x0+Δx?-f?x0?
Δx
?x0+Δx?3-2?x0+Δx?-?x30-2x0?
=li m =3x20-2, →ΔxΔx0
22∴x0+x0-1=3x20-2,∴2x0-x0-1=0,
1∵x0≠1,∴x0=-. 2
5
∴k=x20+x0-1=-, 4
5
∴切线方程为y-(-1)=-(x-1),
4即5x+4y-1=0,故选A.
求切点坐标
[典例] 已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切点的坐标. (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x-y-2=0. (3)切线垂直于直线x+8y-3=0. [解] 设切点坐标为(x0,y0),则
?
Δy=2(x0+Δx)+1-2x?
?0
2
2
-1=4x0·Δx+2(Δx)2,
∴
Δy
=4x0+2Δx, Δx
Δy
当Δx→0时,→4x0,即f′(x0)=4x0.
Δx(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°, ∴斜率为tan 45°=1. 1
即f′(x0)=4x0=1,得x0=,
419?∴切点的坐标为??4,8?.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0, ∴k=4,即f′(x0)=4x0=4,得x0=1, ∴切点坐标为(1,3).
(3)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,
?-1?=-1,即k=8, 则k·?8?
故f′(x0)=4x0=8,得x0=2,∴切点坐标为(2,9).
求切点坐标可以按以下步骤进行
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
[活学活用]
直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为___________,切点坐标为____________.
解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0), 因为y′=li m →
Δx0
?x+Δx?3-?x+Δx?2+1-?x3-x2+1?
=3x2-2x,
Δx12
则y′|x=x0=3x0-2x0=1,解得x0=1或x0=-,
3
3
当x0=1时,y0=x0-x20+1=1,
又(x0,y0)在直线y=x+a上,
将x0=1,y0=1代入得a=0与已知条件矛盾舍去. 11123
-?3-?-?2+1=, 当x0=-时,y0=??3??3?327
12312332-, ?,将?-, ?代入直线y=x+a中得a=. 则切点坐标为??327??327?2712332
-, ? 答案: ?27?327?
层级一 学业水平达标
1.下面说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
解析:选C f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.
2
2.曲线f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为( )
xA.y=-2x+4 C.y=2x-4
B.y=-2x-4 D.y=2x+4
-2
+2
Δy1+Δx2
解析:选C ==,所以当Δx→0时,f′(1)=2,即k=2.所以直线
ΔxΔx1+Δx方程为y+2=2(x-1).即y=2x-4.故选C.