2019人教版精品教学资料·高中选修数学
1．1.3 导数的几何意义
预习课本P6～8，思考并完成下列问题
(1)导数的几何意义是什么？
(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？
(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？
[新知初探]
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li m →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝f′(x0)．
Δx
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)． (2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝li m →
Δx0
f?x＋Δx?－f?x?
.
Δx
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f(x)＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 C．与x轴垂直 答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( ) A．4 C．－2 答案：D
4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．
答案：y轴 x轴
求曲线的切线方程
14
[典例] 已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
33[解] 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4， ∴切点P(2,4)．
1414?2＋Δx?3＋－×23－3333Δy
y′|x＝2＝li m ＝li m
ΔxΔx→0ΔxΔx→012
＝li m [4＋2·Δx＋(Δx)]＝4.
3Δx→0∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤
B．－4 D．2
B．与x轴平行或重合 D．与x轴斜交
2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))．
→0 (2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝liΔxm(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]
过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( ) A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0 D．x－y＋2＝0
解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上， →0 若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝liΔxm?1＋Δx?3－2?1＋Δx?－?－1?
＝li m
ΔxΔx→0
2
＝li m [(Δx)＋3Δx＋1]＝1， →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
. Δx
f?1＋Δx?－f?1?
Δx
∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
3
y0＋1x3?x0－x0?－?x0－1?0－2x0＋1则k＝＝＝
x0－1x0－1x0－12
＝x0＋x0－1，
又由导数的几何意义知 k＝f′(x0)＝li m →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
Δx
?x0＋Δx?3－2?x0＋Δx?－?x30－2x0?
＝li m ＝3x20－2， →ΔxΔx0
22∴x0＋x0－1＝3x20－2，∴2x0－x0－1＝0，
1∵x0≠1，∴x0＝－. 2
5
∴k＝x20＋x0－1＝－， 4
5
∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
4即5x＋4y－1＝0，故选A.
求切点坐标
[典例] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x－y－2＝0. (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. [解] 设切点坐标为(x0，y0)，则
?
Δy＝2(x0＋Δx)＋1－2x?
?0
2
2
－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴
Δy
＝4x0＋2Δx， Δx
Δy
当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.
Δx(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 1
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
419?∴切点的坐标为??4，8?.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
?－1?＝－1，即k＝8， 则k·?8?
故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．
求切点坐标可以按以下步骤进行
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[活学活用]
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．
解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)， 因为y′＝li m →
Δx0
?x＋Δx?3－?x＋Δx?2＋1－?x3－x2＋1?
＝3x2－2x，
Δx12
则y′|x＝x0＝3x0－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，
3
3
当x0＝1时，y0＝x0－x20＋1＝1，
又(x0，y0)在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去． 11123
－?3－?－?2＋1＝， 当x0＝－时，y0＝??3??3?327
12312332－， ?，将?－， ?代入直线y＝x＋a中得a＝. 则切点坐标为??327??327?2712332
－， ? 答案： ?27?327?
层级一 学业水平达标
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
2
2．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为( )
xA．y＝－2x＋4 C．y＝2x－4
B．y＝－2x－4 D．y＝2x＋4
－2
＋2
Δy1＋Δx2
解析：选C ＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线
ΔxΔx1＋Δx方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.
2019人教版 高中数学 选修2-2学案：第一章 1.1 1.3 导数的几何意义
