§6.1 三角函数的概念、同角三角函数的
基本关系及诱导公式
1.(本题为多项选择题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是(
A.第一象限角 C.第三象限角
B.第二象限角 D.第四象限角
).
【解析】因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α 当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α 2.(2020届沧州联考)若600°角的终边上有一点P(-4,a),则a的值为( A.√3 B.2√3 C.-2√3 D.-4√3 ). 【解析】tan 600°=tan(360°+240°)=tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=√3=,所以a=-4√3. 【答案】D ??-43.在△ABC中,若sin A·cos B·tan C<0,则△ABC的形状是( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.不能确定 ). 【解析】因为△ABC中的每个角都在(0,π)内,所以sin A>0. 因为sin A·cos B·tan C<0,所以cos B·tan C<0. 若B,C同为锐角,则cos B·tan C>0. 所以B,C中必定有一个钝角. 所以△ABC是钝角三角形. 【答案】B 1π 4.(2020届河南郑州检测)已知cos(2021π+α)=-,α∈(,π),则cos α=( 222 ). A. 12B.- 12C.- 2√3D. 2√3【解析】因为cos(又因为α∈(,π), π2 2021π2 +α)=-,所以由诱导公式可得,cos( 122021π2 +α)=cos(+α)=-sin α=-,所以sin α=. π21212 所以cos α=-√1-sin2α=-. 2 √3【答案】C 5.(本题为多项选择题)若sin α=4,且α为锐角,则下列式子正确的是( 5 A.tan α= 8 5 43 ). B.cos α= 15 35C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=- 42355 【解析】∵sin α=,且α为锐角,∴cos α=√1-sin2α=√1-()=,故B正确; sin??54 tan α===,故 cos??33 54 45 A正确; sin α+cos α=+=≠,故C错误; sin α-cos α=-=≠-,故D错误. 故选AB. 【答案】AB -2sin?? 6.(2020届重庆模拟)若cos??=-11,则tan α=( sin??+cos?? 431 5551543785555 ). A. 35 B.- 43 C.- 45 D.- cos??-2sin??cos??34 cos??-2sin??1-2tan??cos??【解析】由题意可知,===-11,解得sin??+cos??sin??+cos??tan??+1 tan α=-. 4 3 【答案】B 7.(2018日照市模拟)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α的弧度数为( A. C.√3 π3 ). B. D.2 π2 【解析】设圆半径为r,则圆内接正三角形的边长为√3r,所以√3r=α·r,∴α=√3. 【答案】C 8.(2020届黑龙江牡丹江市模拟)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sin α-cos α=( A. 5 √5√5 ). B.- 5 √5√5C.或- 5 5 D.3√53√5或- 55 √52√5,a>0,,a>0,??2??2??cos α==√5|a|={5sin α==√5|a|={5所以 √52√522√??2+(2a)2√??+(2a)-,a<0,-,a<0,55 【解析】由角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则 ??3√5,a>0,5 2sin α-cos α={ 3√5-,a<0.5 【答案】D 9.(教材改编)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是 【解析】∵cos α≤0,sin α>0, . ∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上. ∴{ 3??-9≤0, ∴-2 ??+2>0, 【答案】(-2,3] 10.(2020届济南月考)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2020)的值为( ). A.-1 C.3 B.1 D.-3 【解析】∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β) =asin α+bcos β=3, ∴f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β) =asin α+bcos β=3. 【答案】C 12π 11.(2020届惠州模拟)已知sin(??+π)=,则cos(-α)=3136 π 3 1213 π6 π2 π6 . π3 1213 【解析】因为sin(??+)=,所以cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(??+)=. 【答案】 ππ 12.(2020届湖北宜昌模拟)已知sin θ=1,θ∈(-,),则cos θ= 32212 13 ,sin(π-θ)sin(2-θ)的值为 . 3π 【解析】因为θ∈(-,),所以cos θ=√1-sin2θ=√1-=所以sin(π-θ)sin(【答案】 2√2 3 3π12√22√2-θ)=-sin θcos θ=-×=-. 2339 ππ2212√2, 93-2√2 9 13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=1×(弦×2矢+矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为 2π ,半径为3 3米的弧田,如图2所示.按照上述经验公式计算弧田的面积大约是 平方米.(结果保留整数,√3≈1.73) 【解析】如题图2,由题意可得∠AOB=,OA=3,所以在Rt△AOD中,∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×3=,可得CD=3-=. 由AD=AO·sin=3×=212π3 √33√32π3π3π61212323322 2 ,可得AB=2AD=122×3√3=3√3. 232949√39 +≈5(平方米). 48所以弧田面积S=×(弦×矢+矢2)=×(3√3×+)=【答案】5 π3π 14.已知cos(π-α)+sin(+β)=1.求cos2(+α)+cos β-1的取值范围. 222 【解析】由已知得cos β=1-sin α. 因为-1≤cos β≤1,所以-1≤1-sin α≤1. 又-1≤sin α≤1,可得0≤sin α≤1, 所以cos2( 3π121+α)+cos β-1=sin2α+1-sin α-1=sin2α-sin α=(sin??-)-. 224(*) 又0≤sin α≤1, 所以当sin α=时,(*)式取得最小值-,当sin α=0或sin α=1时,(*)式取得最大值0, 故所求的取值范围是[-,0]. 1 412 14
§6.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
