第八讲
不定方程
教学目标 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
1． 不定方程的试值技巧 2． 不定方程的经典题例
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
经典精讲 基本题型
【例1】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天
共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚?
【分析】设有7x个大和尚，29y个小和尚，则共吃?41x?11y?个馒头。由“平均每个和尚每天恰好吃
一个馒头”，可列方程：7x?29y?41x?11y，化简为9x?17y。当x?9，y?17时和尚最少，有7?9?29?17?556（个）。
【例2】 把2001拆成两个数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），求这两个
数。
【分析】这是一道整数分拆的常规题。可列式11x?13y?2001，要让y取最大值，可把式子变形为
2001?11x13?153?12?13x?2x12?2x，当x?7时，y?146。则的拆的两个y???153?x?131313数一是7?11?77，146?13?1924。这种不定方程的变形求解是较实用的方法。
或者直接把2001除以13余13，只能退出若干个13，与余数合起来是25，13不是11的倍数，
38，51，64，77，直到出现11的倍数77为止。
【例3】 马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月
付给他薪金350元．年终，马小富从两家公司共获薪金7620元．他在甲公司打工_____个月，在乙公司兼职______个月。
【分析】设马小富在甲公司打工a月，在乙公司兼职b月(a?b，a、b都是不大于12的自然数)，则有
47a?35b?762。若b为偶数，则35b的末位数字为0，从而47a的末位数字必为2，这时a?6．但a?6时，35b?47a，这与a?b矛盾，所以b必为奇数．b为奇数时，35b的末位数字为5，从而47a的末位数字为7，a?1或a?11．但a?1时同样会导出a?b，与a?b矛盾．所以，a?11．b??762?47?11??35?7。于是马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个
月。
【例4】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见面，小
花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声。细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声。问：波斯猫至少叫了多少声?
【分析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声。设早晨见面x次，晚上见面y次。根
据题意有
。 3x?5y?61（x?15，y?15）
可以凑出，当x?2时，y?11；当x?7时，y?8；当x?12时，y?5。因为小花狗共叫2?x?y?声，?x?y?越大，小花狗叫得越多，波斯猫叫得越少，所以x?12，y?5时波斯猫叫得最少，共叫1?12?3?5?27(声)。
【例5】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最
后确定了参加决赛的人选。已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多。参加决赛的男、女选手各有多少人？
【分析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占
初赛时女选手人数的12.5%，所以参加初赛的男选手应是5的倍数，参加初赛的女选手应是8的倍数。
设参加初赛的男生为5x人，参加初赛的女生为8y人。 根据题意可列方程5x?8y?100。
?x?12?x?4解得?，或?。又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多。
y?5y?10??所以第一组解不合适，只有x?4，y?10。
故参加决赛的男选手为4人，女选手为10人。
【例6】 若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式
“学习好勤动脑?5=勤动脑学习好?8”，“学习好勤动脑”表示的六位数最少是______。
【分析】设“学习好”?x。“勤动脑”?y。于是?1000x?y??5??1000y?x??8。即4992x?7995y，
亦即27x?5?41y。从而5?41整除x，并且27整除y，为使满足条件的“学习好勤动脑”尽可能小，我们应该取x?5?41?205，y?27?128，但此时有相同的数字，不符合题意；再取
x?5?41?2?410，y?27?2?256，此时满足条件，于是所求为410256。
【例7】 某市电话号码原为6位数，第一次升位是在首位和第二位数字之间加上3成为一个7位数，第
二次升位是在首位数字前加上2成为一个8位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好位原来的六位数的电话号码的33倍，那么原来的电话号码是______。
【分析】设原来的电话号码的第一位数是a，后五位数是b。根据题意列方程
20300000?1000000a?b?33??100000a?b?
即20300000?2300000a?32b
因为a为数字，b的位数不超过5，推算得a?8，b?59375，所以原来的电话号码是859375。
【例8】 某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差”，到今天为止正好就是
111。”请问：他是在哪一天出生？
【分析】设男孩的年龄为x个年和y个月，即12x?y个月，由此有方程式12x?y?x?111成立，也就
1?y是11x?y?11?10?1，x?10?，0?y?12，所以，y?1而且x?10，从2003年2月16日
11那天退回10年和1个月就是他的生日。1993年1月16日。
【拓展】若干学生搬一堆砖，若每人搬k块，则剩下20块未搬走，若每人搬9块，则最后一名学生只搬
6块，那么学生共有______人。
【分析】设有n个学生，根据砖的数量可得方程
nk?20?9n??9?6?，n?9?k??23。因为23是质数，所以n和?9?k?中一个是23，另一个是1，因为9?k?9，所以n?23。学生人数为23人。
不定方程求解小结
含有两个未知数的整系数不定方程求解的方法一般有两种：
（1）尝试枚举法：首先确定其中一个未知数的取值范围，再将符合条件的未知数的值逐个代入方程，求出对应的另一个未知数的值，最后检验该组解是否符合题目条件。一般来说，不定方程
，较大系数（a或b）所对应的未知数可取得的值较少，所以以ax?by?c中（a、b、c都是整数）
该未知数的值进行尝试枚举比较方便。
（2）整除判断法，将其中一个未知数用另一个未知数来表示，通过整除和余数的性质判断另一未知数可以取得哪些值。
多个未知数
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
当不定方程（组）中所包含的未知数超过2个时，通过联立各条方程，进行消元，将多元方程组转化为二元整系数不定方程进行处理。
【例9】 有一项工程，甲单独做需36天，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、
乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了______天。
【分析】设这项工程用了a天，丙休息了b天。
11?1591?1??a?b?1，a?b?1，59a?15b?720。 ??4872048?363048?由上式，因为15b与720都是15的倍数，所以59a必须是15的倍数，所以a是15的倍数，在a?b的条件下，只有a?15，b?11一组解，即丙休息了11天。
【例10】 2头牛卖7个金币，3头猪卖4个金币，2只羊卖1个金币。有人用100个金币买了三种牲畜共
，问牛、猪、羊各买了多少头（只）？ 100头（只）
【分析】如果用未知数x、y、z分别表示所买的牛、猪、羊的头（只）数，则可以根据它们的总数是
100头（只）和三种牲畜的总价之和是100个金币，分别列出方程。 ?x?y?z?100LLLLL??1?? ?741?x?y?z?100LLL?2?32?2300?18x由?2??6??1??3，得18x?5y?300。即y?。
5因x、y、z都是自然数，所以x可取5、10、15，相应地，y的取值是42、24、6。 把x?5、y?42,x?10、y?24、x?15、y?6分别代入?1?，依次z可取53、66、79。 因此有三种买法：牛5头，猪42头，羊53只；牛10头，猪24头，羊66只；牛15头，猪6头，羊79只。
注：题说“有人用100个金币买了三种牲畜共100头”表示三种牲畜都买了，所设的x、y、z必不包括0。
【例11】
某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给6支，二等奖每人发给3支，三等奖每人发给2支，后来改为一等奖每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支．那么获二等奖的有___人。
【分析】（法一）根据“后来改为一等奖每人发13支”，可以确定获一等奖的人数小于3。否则仅一等
奖就要发不小于39支铅笔，已超过35支，这是不可能的。分别考虑一等奖有2人或者1人的情况：获一等奖有2人时，改变后这2人共多得?13?6??2?14支。而每个二等奖与每个三等
奖的合在一起，仍然共得5支铅笔，这表明三等奖应比二等奖多14??2?1??14人，他们少得
的铅笔数正好是一等奖多得的，但 35?13?2?14?1，所以这种情况不可能发生。
获一等奖有1人时，类似前种情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多?13?6???2?1??7人，
获二等奖的有?35?13?7?1??5?3(人)。经检验，获一等奖1人，获二等奖3人，获三等奖10人符合题目要求。
（法二）设一、二、三等奖的人数分别有x、y、z人，则有方程组：
?6x?3y?2z?35 ?13x?4y?z?35??x?1将z消元，则有4x?y?7，显然的该届方程的正整数解只有?，继而可得到z?10。所
y?3?以获一、二、三等奖的人数分别有1、3、10人。
【例12】
1某次聚餐，每一个男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在的
3成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这活动共有多少人参加（成人和孩子）？
【分析】设男宾有x人，女宾有y人，则由题意得方程
1130x?100y??x?y?60?2160，即150x?120y?2160，
3?x?4?x?8?x?12?x?0有四组解：?，?，?和?，
y?11y?13y?8y?3????但x?y能被3整除，只能取后两组。
11所以，这活动共有12?3???12?3??20人或18??18?24人参加。
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【拓展】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有三分之一的职工各带一个孩子参
加。男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵
第8讲竞赛123班教师版
