华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 得分 一 二 三 四 总分 评阅人 得分 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．二元函数z?ln(y2?2x?1)的定义域为 。
rrrrrrr2. 设向量a?(2,1,2)，b?(4,?1,10)，c?b??a，且a?c，则?? 。 3．经过(4,0,?2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 。 4．设u?xyz，则du? 。 5．级数?(?1)nn?1?1，当p满足 条件时级数条件收敛。 pn得分 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2(xy?x)y'?y的通解是
（ ）
A．y?Ce2x B．y2?Ce2x C．y2e2y?Cx D．e2y?Cxy 2．求极限
A．
2?xy?4 ? （ ）
(x,y)?(0,0)xylim1111 B．? C．? D．
22443．直线L:xyz??和平面?:3x?2y?7z?8?0的位置关系是 （ ） 3?27A．直线L平行于平面? B．直线L在平面?上 C．直线L垂直于平面? D．直线L与平面?斜交 4．D是闭区域{(x,y)|a2?x2?y2?b2}，则??x2?y2d??
D（ ）
A．D．
?2(b3?a3) B．
2?34?3(b?a3) C．(b?a3) 333?3(b?a3) 25．下列级数收敛的是 （ ）
???11?n11A． B． C． D． ????23n(n?1)n?1(n?1)(n?4)2n?1n?1n?1n?1n?1? 得分 解。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0，y?2的特
2. 计算二重积分??Dx?ydxdy，其中D?{(x,y):x2?y2?1,x?y?1}。 22x?y?z?z?。 ?x?y3．设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求
4.求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时针
L方向。
5. 计算??y51?x2?y6dxdy，其中D是由y?3x，x??1及y?1所围成的区
D域。
(?1)n(n?a)1?6．判断级数?的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
n?1nn?1?7．将函数
1展开成x的幂级数，并求其成立的区间。
(1?x)(2?x) 得分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求
原点到这椭圆的最长与最短距离。
(?1)nn2xn2. 求幂级数?的和函数。
(n?1)!n?1?3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)?1，g(0)?0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，L围成的平面区域为D，已知
??xydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?，
LD求f(x)和g(x)。
华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2015~2016学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．{(x,y)|y2?2x?1?0} 2．3
3．9y?z?2?0 4．yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz 5．0?p?1 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．B 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0，y?2的特解。 解：先求y'?y?0的通解，得y?Ce?x………………2分
采用常数变易法，设y?h(x)e?x，得y'?h'(x)e?x?h(x)e?x………3分 代入原方程得h'(x)e?x?h(x)e?x?h(x)e?x?ex………………4分
得h(x)?12e2x?C………………5分
故通解为y?12ex?Ce?x………………6分
将初始条件x?0，y?2带入得C?32，故特解为y?12ex?32e?x…………7分
2. 计算二重积分??x?yx2?y2dxdy，其中D?{(x,y):x2?y2?1,x?y?1}。 D解：设x?rcos?,y?rsin?………………1分
则0????2,1sin??cos??r?1………………3分
所以??x?y?21rcos??rsin?22dxdy?d?1rdr………………5分 Dx?y?0?sin??cos?r2???20(sin??cos??1)d?………………6分
?4??2………………7分 3. 设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求?z??x?z?y。解：设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分
Fx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分
FF?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6分 ??x?,??y??xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]所以
?z?z??1………………7分 ?x?y4. 求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时针
L方向。
解：圆的参数方程为：x?acost,?y?asint(0?t??2)……………1分
?(x?y)dx?(x?y)dy??L20(acost?asint)dacost?(acost?asint)dasint……3分
??a2?20(cos2t?sin2t)dt………………4分
?a22?[sin2t?cos2t]0………………6分 2??a2………………7分
5. 计算??y51?x2?y6dxdy，其中D是由y?3x，x??1及y?1所围成的区
D域。
解：D?{(x,y)|3x?y?1,?1?x?1}………………1分
??yD51?x?ydxdy??dx?3y51?x2?y6dy………………2分
?1x261131212621????[(1?x?y)]3xdx………………4分
63?111???(|x|3?1)dx………………5分
9?121???(x3?1)dx………………6分
901?………………7分 6(?1)n(n?a)1?6. 判断级数?的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
n?1nn?1?
解：(?1)n(n?a)n?1?1n?n?an?1?1n………………1分 :1n(n??)………………3分 所以级数发散。………………4分 又
(?1)n(n?a)n?1?1n?(?1)n(1?a?11n?1)n………………5分
?(?1)n(?n?(a?1)1)n(n?1)n………………6分 ?(?1)n?显然，交错级数?(?1)nn?1n，?都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
n?1(n?1)n收敛。………………7分 7. 将函数
1(1?x)(2?x)展开成x的幂级数，并求其成立的区间。
解：
1(1?x)(2?x)?11?x?12?x………………2分
而
1?1?x??xn,|x|?1………………3分 n?012?x?12[1?x2?(x2)2?L](|x|?2)………………4分 所以
1(1?x)(2?x)?1?x?x2?L?12[1?xx2?(2)2?L]………………5分
???(1?1n?02n?1)xn………………6分 成立范围|x|?1………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z)，P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2?y2?z2，………………1分
高等数学下试题及参考答案
