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高等数学下试题及参考答案 

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华南农业大学期末考试试卷(A卷)

2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学AⅡ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 得分 一 二 三 四 总分 评阅人 得分 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.二元函数z?ln(y2?2x?1)的定义域为 。

rrrrrrr2. 设向量a?(2,1,2),b?(4,?1,10),c?b??a,且a?c,则?? 。 3.经过(4,0,?2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 。 4.设u?xyz,则du? 。 5.级数?(?1)nn?1?1,当p满足 条件时级数条件收敛。 pn得分 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.微分方程2(xy?x)y'?y的通解是

( )

A.y?Ce2x B.y2?Ce2x C.y2e2y?Cx D.e2y?Cxy 2.求极限

A.

2?xy?4 ? ( )

(x,y)?(0,0)xylim1111 B.? C.? D.

22443.直线L:xyz??和平面?:3x?2y?7z?8?0的位置关系是 ( ) 3?27A.直线L平行于平面? B.直线L在平面?上 C.直线L垂直于平面? D.直线L与平面?斜交 4.D是闭区域{(x,y)|a2?x2?y2?b2},则??x2?y2d??

D( )

A.D.

?2(b3?a3) B.

2?34?3(b?a3) C.(b?a3) 333?3(b?a3) 25.下列级数收敛的是 ( )

???11?n11A. B. C. D. ????23n(n?1)n?1(n?1)(n?4)2n?1n?1n?1n?1n?1? 得分 解。

三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0,y?2的特

2. 计算二重积分??Dx?ydxdy,其中D?{(x,y):x2?y2?1,x?y?1}。 22x?y?z?z?。 ?x?y3.设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数,求

4.求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy,其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0),逆时针

L方向。

5. 计算??y51?x2?y6dxdy,其中D是由y?3x,x??1及y?1所围成的区

D域。

(?1)n(n?a)1?6.判断级数?的敛散性,并指出是条件收敛还是绝对收敛。

n?1nn?1?7.将函数

1展开成x的幂级数,并求其成立的区间。

(1?x)(2?x) 得分 四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分) 1.抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆,求

原点到这椭圆的最长与最短距离。

(?1)nn2xn2. 求幂级数?的和函数。

(n?1)!n?1?3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数,且f(0)?1,g(0)?0,L为平面上任意简单光滑闭曲线,L围成的平面区域为D,已知

??xydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?,

LD求f(x)和g(x)。

华南农业大学期末考试试卷(A卷)

2015~2016学年第2 学期 考试科目:高等数学AⅡ参考答案 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.{(x,y)|y2?2x?1?0} 2.3

3.9y?z?2?0 4.yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz 5.0?p?1 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.C 2.C 3.B 4.B 5.A

三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0,y?2的特解。 解:先求y'?y?0的通解,得y?Ce?x………………2分

采用常数变易法,设y?h(x)e?x,得y'?h'(x)e?x?h(x)e?x………3分 代入原方程得h'(x)e?x?h(x)e?x?h(x)e?x?ex………………4分

得h(x)?12e2x?C………………5分

故通解为y?12ex?Ce?x………………6分

将初始条件x?0,y?2带入得C?32,故特解为y?12ex?32e?x…………7分

2. 计算二重积分??x?yx2?y2dxdy,其中D?{(x,y):x2?y2?1,x?y?1}。 D解:设x?rcos?,y?rsin?………………1分

则0????2,1sin??cos??r?1………………3分

所以??x?y?21rcos??rsin?22dxdy?d?1rdr………………5分 Dx?y?0?sin??cos?r2???20(sin??cos??1)d?………………6分

?4??2………………7分 3. 设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数,求?z??x?z?y。解:设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分

Fx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分

FF?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6分 ??x?,??y??xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]所以

?z?z??1………………7分 ?x?y4. 求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy,其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0),逆时针

L方向。

解:圆的参数方程为:x?acost,?y?asint(0?t??2)……………1分

?(x?y)dx?(x?y)dy??L20(acost?asint)dacost?(acost?asint)dasint……3分

??a2?20(cos2t?sin2t)dt………………4分

?a22?[sin2t?cos2t]0………………6分 2??a2………………7分

5. 计算??y51?x2?y6dxdy,其中D是由y?3x,x??1及y?1所围成的区

D域。

解:D?{(x,y)|3x?y?1,?1?x?1}………………1分

??yD51?x?ydxdy??dx?3y51?x2?y6dy………………2分

?1x261131212621????[(1?x?y)]3xdx………………4分

63?111???(|x|3?1)dx………………5分

9?121???(x3?1)dx………………6分

901?………………7分 6(?1)n(n?a)1?6. 判断级数?的敛散性,并指出是条件收敛还是绝对收敛。

n?1nn?1?

解:(?1)n(n?a)n?1?1n?n?an?1?1n………………1分 :1n(n??)………………3分 所以级数发散。………………4分 又

(?1)n(n?a)n?1?1n?(?1)n(1?a?11n?1)n………………5分

?(?1)n(?n?(a?1)1)n(n?1)n………………6分 ?(?1)n?显然,交错级数?(?1)nn?1n,?都收敛,所以原级数收敛。因此是条件

n?1(n?1)n收敛。………………7分 7. 将函数

1(1?x)(2?x)展开成x的幂级数,并求其成立的区间。

解:

1(1?x)(2?x)?11?x?12?x………………2分

1?1?x??xn,|x|?1………………3分 n?012?x?12[1?x2?(x2)2?L](|x|?2)………………4分 所以

1(1?x)(2?x)?1?x?x2?L?12[1?xx2?(2)2?L]………………5分

???(1?1n?02n?1)xn………………6分 成立范围|x|?1………………7分

四、 解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)

1. 抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解:设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z),P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2?y2?z2,………………1分

高等数学下试题及参考答案 

华南农业大学期末考试试卷(A卷)2016~2017学年第2学期考试科目:高等数学AⅡ考试类型:(闭卷)考试考试时间:120分钟学号姓名年级专业题号得分一二三四总分评阅人得分一、填空题(本大题共5
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