文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的． 当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．
x51dx有递推公式In??5In?1(n?1,2,?)，已知 算例1.3 计算积分In??0x?5n6I0?ln． 采用IEEE双精度浮点数，分别用如下两种算法计算I30的近似值．
51**** 算法1 取I0的近似值为I0?0.18232155679395，按递推公式In??5In?1计算I30
n39391x1x11??dx?I39??dx? 算法2 因为，取I39的近似值为 06056?(39?1)5?(39?1)1?11?1?1****?I39?????0.00458333333333，按递推公式In?1???In?计算I30 2?240200?5?n?1 算法1和算法2 的计算结果见表1.2． 误差绝对值的对数图见图1.3．
表1.2 算例1.3的计算结果 算法1 n n 1 2 3 4 5 6 … 25 26 27 28 29 30 算法2 3.9959e-004 7.9919e-005 1.5984e-005 3.1967e-006 6.3935e-007 1.2787e-007 2.5574e-008 5.1148e-009 1.0230e-009 2.0459e-010 8.8392e-002 5.8039e-002 4.3139e-002 3.4306e-002 2.8468e-002 2.4325e-002 … 1.1740e+001 -5.8664e+001 2.9336e+002 -1.4667e+003 7.3338e+003 -3.6669e+004 1.9429e-016 9.8532e-016 4.9197e-015 2.4605e-014 1.2304e-013 6.1520e-013 … 1.1734e+001 5.8670e+001 2.9335e+002 1.4668e+003 7.3338e+003 3.6669e+004 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 4.5833e-003 4.2115e-003 4.4209e-003 4.5212e-003 4.6513e-003 4.7840e-003 4.9255e-003 5.0755e-003 5.2349e-003 5.4046e-003 图1.3 算例1.3用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图 从表1.2中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有
成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有
6文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图1.3． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．
知识结构图 习题一
**4*1 已知有效数x1??3.105，x2?0.125?10，x3?0.010． 试给出各个近似值的绝对误
差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．
x*?xx*?x2 证明当近似值x是x的较好近似时，计算相对误差的计算公式和相差一个
xx**?x*?x?和??x??同阶的无穷小量． ??*3 设x的近似值x具有如式(1.5)的表示形式，试证明
*1) 若x具有n位有效数字，则相对误差er(x)?*21?101?n； 2a12) 若相对误差er(x)?*12(a1?1)?101?n，则x*至少具有n位有效数字．
4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．
5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．
********* 1) y1?x1?x2x3； 2) y2； 3) y3?x2/x3 ?3x26 若例题1.3中使用的尺子长度是80mm，最小刻度为1mm，量得某桌面长的近似值
a*?1304.3 mm，宽的近似值b*?704.8mm． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并
求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限． 7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确． 1) 2)
1?cosx,x?0且x??1 x?N?1Nlnxdx?(N?1)ln(N?1)?NlnN?1,N??1
x??1
?13) 3x?1?3x,m8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算e近似值算法的可靠性． 算法1 e 算法2 e?1(?1)n??；
n!n?0?1?m1?????； ?n?0n!??1?1?m1??1 算法3 e????(m?n)!??；
?n?0?7文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式 y0?28.72，yn?yn?1?52，n?1,2,?
****在计算时2取为具有5位有效数字的有效数c． 试分析近似计算公式yn?yn?1?5c的
绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗？
8文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.
数值分析原理课件第一章
