?2w?2δw??2w?δw??3w?4w?()?(2δw)?22δw
?x?y?x?y?x?x?y?y?y?x?y?x?y或
?2w?2δw??2w?δw??3w?4w?()?(δw)?22δw （1-115）
?x?y?x?y?y?x?y?x?x?x?y2?x?y合并（1-115）各式，可得
?2w?2δw?2w?2δw?2w?2δw?2?2?222?x?y?x?y?x?x?y?y??2w?δw?2w?δw(??w)δw?[2?]??x?x?x?x?y?y22??w?δw?w?δw??[?2]?[(?2w)δw]??y?x?y?x?x?x?y?y??2[(?w)δw]?y?y根据格林公式（1-79）式，有
22 （1-116）
??2w??w?2w??w??2w?2w??w{[2?]?[?2]}dxdy? ???x?x?x?x?y?y?y?x?y?y?yS?2w??w?2w??w?2w??w?2w??w?C{[?x2?x??x?y?y]sin??[?x?y?x??y2?y]cos?}ds （1-117）
???2w???2w{[?w]?[?w]}dxdy? ???x?x?y?yS??2w??2w?C{?xsin???ycos?}δwds （1-118）
在边界C上，如果w已知，即δw?0，即线积分等于零。如果周边C上w为已知的，那么边界C上，δw＝0，?(δw)?n。现在证明（1-117）于零，为了证明这点，我们引进(n,s)边界正交坐
（1-118）式等号右边边界围在?w?n也一定是已知的，等号右边边界围线积分等标（图1-4），坐标dx，dy，这里?是s的函数，即
ds，dn之间的变换关系如（1-82）和（1-83）式。???(s)，而且有
????1?0 （1-119） ，??n?s?s图1-4 边界正交坐标
其中?s为边界曲线的曲率半径，当曲率中心在S域内部时为正，在外侧时为负。于是利用（1-83）式后，可以证明
?2w?2wsin??cos?2?x?y?x
??w??w?()sin??()cos??x?x?y?x?
??w() （1-120） ?n?x16
同样，可以证明
?2w?2w??wsin??2cos??() （1-121） ?x?y?n?y?y于是（1-117）式中被积函数可以写成
?2w?δw?2w?δw?2w?δw?2w?δw(2?)sin??(?2)cos??x?y?y?x?x?x?y?y?y?y （1-122）
??w?δw??w?δw?()?()?n?x?x?n?y?y这里必须指出，我们不能把（1-82）、（1-83）式的
????w??w,直接代入(),()来计算（1-122）式，因为（1-82）?x?y?n?x?n?y式所表示的
?w?w，是在周边C上的导数极限，它们只是s的函数，它们对法线n的导数一定等于零。（1-122）式,?x?y中的
??w??w??w??w(),()应该是边界线附近的(),()在n?0时的极限，即 ?n?x?n?y?n?x?n?y??w??w?()|c?Lim()?n?0?n?x??n?x??w??w? （1-123） ()|c?Lim()?n?0?n?y??n?y?让我们取边界正交坐标(n,s*)，这一坐标不在边界C上，如图1-4。同样有以下关系
????cos?*?sin??x?n?s* 在s上 （1-124）
????sin?*?cos??y?n?s且
?s?? （1-125） ?*?s?n?s?s所以
Limn?0???w??w?w()?Lim{scos??sin?}n?0?n??n?s?n?x?ns?s?2w?s?w?2w?Lim{[?]?cos??2sin?} n?0?s?n?n?s(?s?n)2?s?n?2w1?w?2w?[?]cos??2sin??n?s?s?s?n同样，得
??w?2w1?w?2wLim()?[?]sin??2cos? n?0?n?y?n?s?s?s?n于是（1-122）式可以化为
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??w?δw??w?δw?2w1?w[()?()]c?{[?]cos???n?x?x?n?y?y?n?s?s?s?2w?δw?δw?2w1?wsin?}(cos??sin?)?{[?]sin??2?s?n?n?s?s?s?n?2w?δw?δwcos?}(sin??cos?)?s?n?n2?2w1?w?δw?2w?δw?(?)()?2?n?s?s?s?s?n?n??2w1?w?3w?1?w?2w?δw?[(?)δw]?[?]δw?22?s?n?s?s?s?s?s?s?n?s?n?n而且，根据边界的封锁性，我们有
i??2w1?w?2w1?w?(?)kδwk （1-127） ?c?s[(?n?s??s?s)δw]ds????n?s?s?sk?1 （1-126）
?2w1?w其中?(，这里假设共有?)kδwk代表边界C上第k角点的增值量（注意C的方向走向，k角点增量顺序）
?n?s?s?si个不连续角点，δwk为k角点的δw值。
最后，从（1-117）式导出
??2w?δw?2w?δw??2w?δw?2w?δw{[2?]?[?2]}dxdy???x?x?x?x?y?y?y?x?y?x?y?yS??{c?w?δw?w?1?w?[?]δw}ds?22?s?s?s?n?n?n?si23
?2w1?w?(?)kδwk （1-128） ??n?s??sk?1s同样，利用（1-83）式中的第二式，我们可以从（1-118）式证明
???2w???2w??2w[(?w)?(δw)]dxdy??δwds （1-129） ??c?n?x?x?y?yS最后，得?1的极值（必要）条件
?2w?δwδ?1???(D??w?q)δwdxdy??D2ds?c?n?nS22??2w?1?w2D[(?w?)?]δwds?2?c?n?s?s?s?s?2w1?wD??(?)δwk?0?n?s?s?skk?1i （1-130）
如果在边界C上，w和?w?n为已知，包括边界为固定的，则有
δw?0，
?δw?0 在边界C ?nδwk?0 在角点k?1,2,?i上 （1-131）
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从（1-130）式中利用（1-131）的条件，利用变分法的预备定理，就得到欧拉方程，这里为板的平衡方程为
D?2?2w?q?0 （1-132）
如果在边界C的一部分C1上，w和?w?n都是未知的，在C1边界上w和?w?n均不等于零，它们可以是任选的。利用变分法预备定理，则在C1上必须满足的条件为
??2w?1?w2(?w?2)??0?n?s?s?s?s?w?02?n2 (在C1边界上) （1-133）
如果在角点k1上，w也是未知的，则在那里δw不等于零，利用变分法的预备定理，在k1角点上必须满足角点条件
?2w1?w?(?)k1?0 (在角点k1上) （1-134） ?n?s?s?s像（1-133）及（1-134）的条件，称之为自然边界条件。
凡变分法中因边界值事先未给定而由驻值要求所引起的必须满足的边界条件，统称为自然边界条件。例如（1-133）式就是在（1.112a）式的泛函变分中，因一部分边界C1上的w和?w?n未知，而必须满足的两个自然边界条件。
其它二个泛函?2和?3，利用上述类似的方法推导，由各自极值的必要条件δ?2?0和δ?3?0，均可得到板弯曲的欧拉方程（即板弯曲微分方程），但代表不同的自然边界条件，读者可自行推导。以上问题的详细论述，可参阅文献[1]。
例（4） 梁的弯曲振动问题。
梁弯曲振动时，梁的弹性变形能U为
1l?2w2U??EI(2)dx （1-135）
20?x梁的动能为
T??1?w2?()dx （1-136） 02?tl其中?为梁单位长度的质量，w(x,t)为梁的弯曲挠度。根据哈密顿原理，w(x,t)由
δA?δ?(T?U)dt?0 （1-137）
t1t2决定，即
1t2l??w2?2w2?δA?δ????()?EI(2)?dxdt2t10??t?x???t2t1??w?δw?w?δw???EIdxdt22??0??x?x???t?tl22
因为w(x,t1),w(x,t2)已知，所以δw(x,t1)?δw(x,t2)?0，于是
??t1t2l0?t2l???w?δw?wd?w?dxdt????(?δw)?(?)δw?dxdtt10?t?t?t?tdt?t????l0t2t1t2l?w??w??δwdl??2δwdxdt? （1-138） ????t01?t??t?t1t22?因为w(0,t),w(l,t),wx(0,t),wx(l,t)已知，所以
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?2w?0??t2δwdxdtlδw(0,t)?δw(L,t)?0，
于是
??δw(0,t)?δw(l,t)?0 （1-139） ?x?x?t2t1??2w?2δw?EI2dxdt2??0???x?x?lt2l????2w?δw??????2w?????EI2?(EI)δw????2t10?x?x????x?x??x??x??2?2w(EI)δw?dxdt22?x?x? （1-140） ??t2t1t2t1t2t1?2?2w?0?x2(EI?x2)δwdxdt?l???2w?δw???2wEI?(EI)δw??dt22?x??x?x?x?0?2?2w?0?x2(EI?x2)δwdxdtll??最后，得
δA???根据变分法预备定理，得梁的振动方程
t2t1??2w?2?2w??2?2EI2?δwdxdt （1-141） ?0??x?x???tl?2w?2?2w?2?2EI2?0 （1-142） ?t?x?x如果EI为常数，上式可以写成
?4w??2w??0 42EI?x?x如果端点条件w及?w?x为未定的，则我们有相应的自然边界条件
（1）
?w?0 （当t?t1及t?t2） ?t?2w?0 （当x?0及x?l） （2） 2?x??2w(EI2)?0 （当x?0及x?l） （1-143） （3） ?x?x显然，（1-143）式之（1）式，相当于起始及终结速度为零；（2）相当于梁两端弯矩为零，（2）与（3）相加在一起，
表示自由端的条件，单独（3）表示在端点处剪力为零。
例（5） 薄板弯曲振动问题。
?2w?2w?2w设薄板的抗弯刚度为D，横向位移为w(x,y,t)，泊桑比为?，为扭率，,2为变形后的两个曲率，2?x?y?x?y弯矩Mx,My及扭矩Mxy分别为
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第一章泛函变分的基础概念(16K)
