第一章 泛函极值问题的一些基本概念
§1.1 泛函的极大值和极小值问题
如果函数y(x)在x?x0附近的任意点上的值都不大（小）于y(x0)，也即dy?y(x)?y(x0)?0(?0)时，则称函数y(x)在x?x0上达到极大（极小），而且在x?x0上，有
dy?0 （1-1）
对于泛函?[y(x)],也有类似的定义。如果泛函?[y(x)]在任何一条与y?y0(x)接近的曲线上的值不大（或不小）于?[y0(x)]，也就是，如果δ???[y(x)]??[y0(x)]?0（或?0）时，则称泛函?[y(x)]在曲线y?y0(x)上达到极大值（或极小值），而且在y?y0(x)上，有
δ??0 （1-2）
在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。
如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在y?y0(x)曲线上有强极大（极小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的y(x)而言是极大（极小）值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的y(x)而言，也是极大（极小）值，所以泛函在y?y0(x)曲线上是强极大（极小）值时，也必在y?y0(x)上是弱极大（极小）值。反之，则不然，即泛函在y?y0(x)曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的y(x)而言，有一个比函数与导数都接近的y(x)所求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。
这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。
§1.2 求解泛函极值的欧拉方程
变分法的早期工作是如何将泛函驻立值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻立值问题转化为微分方程时，第一步工作就结束了，下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法（里兹法）以后，人们才认识到直接从泛函极值出发，而避免从微分方程式出发更为有效与方便，这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用。于是人们研究的目标有所转移，即把原来从泛函驻立值问题化为微分方程问题，转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函，而成为泛函求驻立值的问题。对于前一种问题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一类问题，虽然正在大力进行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，还是根据微分方程物理和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻立值问题，然后再核对一下，看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。
现在研究最简单泛函（1-3）式的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲线y?y(x)的边界是固定不变的，而且有y(x1)?y1，y(x2)?y2，函数F(x,y,y?)将认为是三阶可微的。
???F[x,y(x),y?(x)]dxx1x2 （1-3）
首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分
?[y?εδy]??F[x,y?εδy,y??εδy?]dx
x1x2于是有
x2???[y?εδy]??{F[x,y?εδy,y??εδy?]δy?x1?y?ε
? F[x,y?εδy,y??εδy?]δy?}dx?y?让ε?0，得
1
δ??其中而且
x2?F??F?[y?εδy]|ε?0??[δy?δy?]dx （1-4）
x1????y?y?F??F??F(x,y,y?)，?F(x,y,y?)
?y??y??y?yx2x2d?F?Fd?F?δydx?{[δy]?()δy}dx ?x1?y??x1dx?y?dx?y?对于固定边界条件，因为有δy(x2)?δy(x1)?0，所以
?将（1-5）式代入（1-4）式，得到变分极值条件
x2x1x2d?F?Fδy?dx???()δydx （1-5）
x1?y?dx?y?δ???[x1x2?Fd?F?()]δydx?0 （1-6） ?ydx?y?根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为
?Fd?F?()?0 （1-7） ?ydx?y?这里必须指出，上式中的第二项是对x的全导数，不是偏导数，且F?F(x,y,y?)，所以
d?F?2F?2Fdy?2Fdy????????()????Fx??y??Fyy?y?Fy?y?y （1-8） 2dx?y??x?y??x?y?dx?y?dxdyd2y???????，y???2，所以欧拉方程（1-7）式也可其中Fx??y?，Fyy?，Fy?y?都是F(x,y,y)对x,y,y的二阶偏导数。y?dxdx以写成
???Fy???????Fy??Fx?yy?y?Fy?y?y?0 （1-9）
这就是1744年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉－拉格朗日方程。
（1-9）式是关于y(x)的一个二阶微分方程，其积分常数有两个c1和c2，它的积分曲线y?y(x,c1,c2)叫做极值曲线，只有在这族极值曲线上，泛函（1-3）式才能达到极值，积分常数是由极值曲线通过y(x1)?y1，y(x2)?y2这两个端点条件所决定的。
把泛函的变分作为泛函增量的主部，也同样得到欧拉方程（1-7）式及（1-8）式。求泛函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从（1-3）式，因为积分限是固定的（不变的），所以有
δ??δ?其δF是从y，y?增量引起的，其主部为
x2x1F(x,y,y?)dx??δF(x,y,y?)dx
x1x2δF(x,y,y?)??F?Fδy?δy?
??y?y于是得到（1-4）式，这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。
这里还应指出，（1-9）式这样的欧拉方程，有下列四种特殊的情况，应该予以注意。
（1）F(x,y,y?)和x无关，即
F?F(y,y?) （1-10）
于是（1-9）式可以写成
?????Fy??Fy??y?y?Fy?y?y?0 （1-11）
2
上式可以简化为
d?F(F?y?)?0 （1-12） dx?y?一次积分后
F?其中c1为积分常数。
（2）F(x,y,y?)和y无关，即
?Fy??c1 （1-13） ??yF?F(x,y?) （1-14）
代入（1-7）式，得
d?F()?0 （1-15） dx?y?积分得
?F?c （1-16） ?y?其中c为积分常数。
（3）F(x,y,y?)和y?无关，即
F?F(x,y) （1-17）
于是欧拉方程为
Fy?(x,y)?0 （1-18）
它不是微分方程，不包含什么特定常数，一般情况，所讨论的变分问题不存在，只在个别的情况下，当曲线（1-18）式通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。
（4）F(x,y,y?)是y?的线性函数，即
F?x,y,y???P?x,y??Q?x,y?y? （1-19）
于是欧拉方程为
?P?QdQ?y???0 （1-20） ?y?ydx但是
dP?Q?Q??y? （1-21） dy?x?y所以（1-20）式可以简化为
?P?Q??0 （1-22） ?y?x它也不是一个微分方程式，因为它没有y?项，一般说来它不满足固定端点条件，因此，变分问题根本不存在。
现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方程。 我们研究泛函
?[y(x)]??F[x,y(x),y?(x),y??(x),?,y(n)(x)]dx （1-23）
x1x2的极值，其中泛函F被认为对于y(x)，y?(x)，y??(x)，．．．，y件
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(n)(x)是n?2阶可微的，并且假定，端点上有固定条
?，y??(x1)?y1?，??，y(n?1)(x1)?y1y(x1)?y1，y?(x1)?y1(n?1)
(n?1)?，y??(x2)?y2??， （1-24） y(x2)?y2，y?(x2)?y2?，y(n?1)(x2)?y2端点上不仅给出函数值，而且还给出直至n?1阶导数的值。我们将假定，极值在2n阶可微曲线y?y(x)上达到。
用上面相同的求泛函变分方法，我们可以证明：
δ???{x1x2?F?F?F?Fδy?δy??δy?????(n)δy(n)}dx （1-25） ?y?y??y???y其中用简略符号δy代替δy(x)，δy(k)代替δy(k)dk(x)?k?δy(x)?。
dxx2d?F?Fd?F2(δy)dx?δy|x?x1?x1dx(?y?)δydx （1-26） ?y?dx?y?积分（1-25）式中的第二项可以分部积分一次，得
?将积分（1-25）式中第三项分部积分两次，得
x2x1?x2x1?Fd2?Fd?Fx2x2?(δy)dx?δy|?()δy|xx1?21?y??dx?y??dxδy???最后一项经过n次分部积分后，得
x2x1d?F()δydx2??dx?y2 （1-27）
?x2x1?Fdn?Fd?F(n?1)x2(n?2)x2(δy)dx?δy|?()y|x1?x1(n)n(n)(n)dx?y?ydx?y??(?1)n?x2x1d?F()δydxn(n)dx?yn （1-28）
根据变分法的预备定理，（1-25）式为零时，得
nd?Fd2?F?FndFy??()?2()???(?1)()?0 （1-29） n(n)???dx?ydx?ydx?y这是y?y(x)的2n阶微分方程式，一般称之为泛函（1-23）式的欧拉-泊桑方程，而它的积分曲线就是所讨论变分问题的解（极值曲线）。这个方程的解通常有2n个特定常数，由2n个端点条件（1-24）式决定的。
【例1-1】 梁在横向载荷作用下的弯曲问题，就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一个例子。设梁的抗弯刚度为EJ，两端固定，在横向分布载荷q(x)作用下
发生弯曲变形（或称挠度）
w(x)，如图1-1所示。端点固定条件为
w(0)?w?(0)?0?? （1-30）
w(L)?w?(L)?0?在梁达到平衡时，其总位能达到最小值。梁的位能弯曲能，它等于
等于梁在弯曲时所贮存的
U??L01EJ?2dx （1-31） 2图1-1 梁在横向载荷作用下的弯曲
其中?为梁弯曲后的曲率，它和挠度w(x)的关系为
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??d2wdx2dw2??1?()??dx??32d2w?2 dx这里假定挠度很小，略去高次项。（1-31）式可以写成
U??载荷q(x)在变形w(x)上的位能为
L01d2w2EJ()dx 2dxV???q(x)w(x)dx （1-32）
0L于是，梁所形成的总位能?为
1d2w2??U?V??[EJ()?q(x)w(x)]dx （1-33）
02dxL梁的平衡条件为w(x)使总位能达到最小值，即δ??0。于是利用变分计算，并利用固定端条件（1-30），得
d4wδ???[EJ4?q(x)]δw(x)dx?0 （1-34）
0dxL利用变分法的预备定理，求得梁的平衡方程为
d4wEJ4?q(x)?0
dx这就是欧拉—泊桑方程。（1-34）式在静力学中被称为虚位移原理，δw(x)就是满足端点位移约束条件的虚位移。虚位移原理为：
对于平衡的力系而言，对一切满足约束条件（这里指端点条件）的虚位移作的功都等于零。最小位能原理（或称总位能原理）和虚功原理是一致的。 下面讨论另一种形式的泛函
?(?,?x,?y)???F(?,?x,?y)dxdy??G(?)ds （1-35）
RSc的欧拉方程。
函数中?(x,y)在域R内连续，其边界S由Sb和Sc组成，其中
???b （在Sb上）
??????，y。 ?b为给定的，式中?x??y?x现在对（1-35）泛函取一次变分，得到
δ????[R?F?F?F?Gδ??δ?x?δ?y]dxdy??δ?ds （1-36）
Sc??????x??y因为
????δ??x?x
???δ?y?δ?δ??y?yδ?x?δ（1-36）式等号右边第一个积分中的末两项可化为
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第一章泛函变分的基础概念(16K)
