2019-2020年高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》教案 新人教A版选
修2-2
教学目标:
1.了解可导函数的单调性与其导数的关系;
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程: 一.创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二.新课讲授
1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相
应地,.
(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相
应地,.
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图3.3-3,导数表示函数在 点处的切线的斜率. 在处,,切线是“左下右上”式的, 这时,函数在附近单调递增; 在处,,切线是“左上右下”式的, 这时,函数在附近单调递减.
结论:函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减. 说明:(1)特别的,如果,那么函数在这个区间内是常函数. 3.求解函数单调区间的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数;
(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间. 三.典例分析
例1.已知导函数的下列信息: 当时,; 当,或时,; 当,或时,
试画出函数图像的大致形状. 解:当时,,可知在此区间内单调递增; 当,或时,;可知在此区间内单调递减; 当,或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”. 综上,函数图像的大致形状如图3.3-4所示. 例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1); (2) (3)f(x)?sinx?xx?(0,?); (4)f(x)?2x?3x?24x?1 解:(1)因为,所以,
f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此,在R上单调递增,如图3.3-5(1)所示. (2)因为,所以,
当,即时,函数单调递增; 当,即时,函数单调递减;
函数的图像如图3.3-5(2)所示.
(3)因为f(x)?sinx?xx?(0,?),所以,
因此,函数在单调递减,如图3.3-5(3)所示. (4)因为f(x)?2x?3x?24x?1,所以 . 当,即 时,函数 ; 当,即 时,函数 ;
函数f(x)?2x?3x?24x?1的图像如图3.3-5(4)所示.
注:(3)、(4)生练
例3 如图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同
的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.
3232'2232分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.
解:?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?
思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?
一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化的快, 这时,函数的图像就比较“陡峭”; 反之,函数的图像就“平缓”一些.
如图3.3-7所示,函数在或内的图像“陡峭”, 在或内的图像“平缓”.
例4 求证:函数在区间内是减函数.
证明:因为y'?6x2?6x?12?6x2?x?2?6?x?1??x?2? 当即时,,所以函数在区间内是减函数. 说明:证明可导函数在内的单调性步骤: (1)求导函数;
(2)判断在内的符号;
(3)做出结论:为增函数,为减函数. 例5
已知函数 f(x)?4x?ax?2??23x(x?R)在区间上是增函数,求实数的取值范围. 3解:,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得: 所以实数的取值范围为. 说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
四.课堂练习
1.求下列函数的单调区间
32
1.f(x)=2x-6x+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2.课本 练习 五.回顾总结
(1)函数的单调性与导数的关系
(2)求解函数单调区间
(3)证明可导函数在内的单调性
六.布置作业
2019-2020年高中数学《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》导学
案 新人教A版选修2-3
一、预习目标
借助“杨辉三角”数表,掌握二项式系数的对称性,增减性与最大值。
二、预习内容
1、二项式定理:________________________________________________; 二项式系数:______________________________________________;
n
2、( 1+x) =________________________________________________;
n
练一练:把( a+b) (n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数填入课本P37的表格。 想一想:杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况,那么杨辉三角有何特点?或者说二项式系数有何性质呢?
画一画:当n=6时,作出函数f(r)的图象,并结合图象分析二项式系数的性质。
课内探究学案
一、学习目标
①了解“杨辉三角”的特征,让学生偿试并发现二项式系数规律;
②通过探究,掌握二项式系数的性质,并能用它计算和证明一些简单的问题; 二、学习重难点:
学习重点:二项式系数的性质及其应用;
学习难点:杨辉三角的基本性质的探索和发现。 三、学习过程 (一)、杨辉三角的来历及规律
n
问题1:根据( a+b) (n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数表,你能发现什么规律?
问题2:杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况,那么杨辉三角有何特点?或者说二项式系数有何性质呢?
n
对于( a+b)展开式的二项式系数,,,…,,从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},令f(r)= ,定义域为{0,1,2,…,n} 问题3:当n=6时,作出函数f(r)的图象,并结合图象分析二项式系数的性质。
(二)二项式系数的重要性质
1、对称性:二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即= 分析:
2、增减性与最大值:二项式系数先增大后减小,中间取最大。 提示:(1)讨论与的大小关系。 (2)讨论与1的大小关系。
nn
3、各项二项式系数的和:( a+b)的展开式中的各个二项式系数的和为2 分析:赋值法的应用。
四、典型例题(性质4)
n
试证:在(a+b)的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
分析:奇数项的二项式系数的和为+++…,
偶数项的二项式系数的和为+++…, nnn-1n-kkn
由于(a+b)=a+ab+…+ab+…+b中的a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和。 五、当堂检测
1、已知=a,=b,那么=__________;
n
2、(a+b)的各二项式系数的最大值是____________; 3、++…+=________;
012nCn?Cn?Cn???Cn4、0?__________; 12n?1Cn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?15、证明:+++…+ =2 (n是偶数) ;
课后练习与提高
20
1、在(a+b)的展开式中,与第五项二项式系数相同的项是( )
(A)第15项 (B) 第16项 (C) 第17项 (D) 第18项
13
2、(1—x)的展开式中系数最小的项是( )
(A)第6项 (B) 第7项 (C) 第8项 (D) 第9项 3若与同时取得最大值,则m=_____________
727
4、已知(1—2x)=a0+a1x+a2x+…+a7x
则a1+a2+…+a7=__________ a1+a3+ a5+a7=__________ a0+a2+ a4+a6=__________
n5、已知()的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展开式中二项式系数最大的项
的系数.
n-1