2019-2020年高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》教案 新人教A版选
修2-2
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相
应地，．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相
应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在 点处的切线的斜率． 在处，，切线是“左下右上”式的， 这时，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”式的， 这时，函数在附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数． 3．求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析
例1．已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，
试画出函数图像的大致形状． 解：当时，，可知在此区间内单调递增； 当，或时，；可知在此区间内单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）； （2） （3）f(x)?sinx?xx?(0,?)； （4）f(x)?2x?3x?24x?1 解：（1）因为，所以，
f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为，所以，
当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为f(x)?sinx?xx?(0,?)，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为f(x)?2x?3x?24x?1，所以 ． 当，即 时，函数 ； 当，即 时，函数 ；
函数f(x)?2x?3x?24x?1的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同
的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
3232'2232分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭”； 反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”， 在或内的图像“平缓”．
例4 求证：函数在区间内是减函数．
证明：因为y'?6x2?6x?12?6x2?x?2?6?x?1??x?2? 当即时，，所以函数在区间内是减函数． 说明：证明可导函数在内的单调性步骤： （1）求导函数；
（2）判断在内的符号；
（3）做出结论：为增函数，为减函数． 例5
已知函数 f(x)?4x?ax?2??23x(x?R)在区间上是增函数，求实数的取值范围． 3解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得： 所以实数的取值范围为． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
32
1.f(x)=2x－6x+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数单调区间
（3）证明可导函数在内的单调性
六．布置作业
2019-2020年高中数学《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》导学
案 新人教A版选修2-3
一、预习目标
借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。
二、预习内容
1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________；
n
2、( 1+x) =________________________________________________；
n
练一练：把( a+b) （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。 想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。
课内探究学案
一、学习目标
①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；
②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题； 二、学习重难点：
学习重点：二项式系数的性质及其应用；
学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 三、学习过程 （一）、杨辉三角的来历及规律
n
问题1：根据( a+b) （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？
问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
n
对于( a+b)展开式的二项式系数，，，…，，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= ，定义域为{0，1，2，…，n} 问题3：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。
（二）二项式系数的重要性质
1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即= 分析：
2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。 提示：（1）讨论与的大小关系。 （2）讨论与1的大小关系。
nn
3、各项二项式系数的和：( a+b)的展开式中的各个二项式系数的和为2 分析：赋值法的应用。
四、典型例题（性质4）
n
试证：在（a+b）的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
分析：奇数项的二项式系数的和为+++…，
偶数项的二项式系数的和为+++…， nnn-1n-kkn
由于(a+b)=a+ab+…+ab+…+b中的a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和。 五、当堂检测
1、已知=a，=b，那么=__________；
n
2、（a+b）的各二项式系数的最大值是____________； 3、++…+=________；
012nCn?Cn?Cn???Cn4、0?__________； 12n?1Cn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?15、证明：+++…+ =2 (n是偶数) ；
课后练习与提高
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1、在（a+b）的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（ ）
（A）第15项 (B) 第16项 (C) 第17项 (D) 第18项
13
2、（1—x）的展开式中系数最小的项是（ ）
（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第8项 (D) 第9项 3若与同时取得最大值，则m=_____________
727
4、已知（1—2x）=a0+a1x+a2x+…+a7x
则a1+a2+…+a7=__________ a1+a3+ a5+a7=__________ a0+a2+ a4+a6=__________
n5、已知()的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项
的系数．
n-1
2019-2020年高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》教案 新人教A版选修2-2
