数学试卷
2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数
一、选择题
1 ．（2019年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c,下列结论中错误的是 （ ）
A．?x0?R,f(x0)?0
B.函数y?f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(??,x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)?0 【答案】C
2 ．（2019年高考大纲卷（文））已知曲线y?x4?ax2?1在点?-1 ，a?2?处切线的斜率为8，a=（ ）A．9 B．6 C．-9 D．-6
【答案】D 3 ．（2019年高考湖北卷（文））已知函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是（ ）
A．(??,0) 【答案】B
4 ．（2019年高考福建卷（文））设函数f(x)的定义域为R,x0(x0?0)是f(x)的极大值点,以下结论一定
正确的是
A．?x?R,f(x)?f(x0) C．?x0是?f(x)的极小值点 【答案】D
5 ．（2019年高考安徽（文））已知函数f(x)?x?ax?bx?c有两个极值点x1,x2,若f(x1)?x1?x2,
则关于x的方程3(f(x))?2af(x)?b?0的不同实根个数为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A 6 ．（2019年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如
右图所示,则该函数的图像是
2321B．(0,)
2C．(0,1) D．(0,??)
（ ）
B．?x0是f(?x)的极小值点 D．?x0是?f(?x)的极小值点
数学试卷
A B
C
D
【答案】B 二、填空题
27 ．（2019年高考广东卷（文））若曲线y?ax?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a?____________.
【答案】
1 2?8 ．（2019年高考江西卷（文））若曲线y?x?1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________. 【答案】2 三、解答题
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9 ．（2019年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x-3(a+1)x+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)当
a?1时,f(x)?2x3?6x2?6x?f(2)?16?24?12?4,所以6,所以
2f?(x)?6x?12?x?6?f(?2)?24?2?4y6?f(x)在(2,f(2))处的切线方程
是:y?4?6(x?2)?6x?y?8?0;
(Ⅱ)因为①当af?(x)?6x2?6(a?1)x?6a?6[x2?(a?1)x?a]?6(x?1)(x?a)
?1时,x?(??,1][a,??)时,y?f(x)递增,x?(1,a)时,y?f(x)递减,所以当
x?[0,2|a|]时,且2|a|?2,x?[0,1][a,2|a|]时,y?f(x)递增,x?(1,a)时,y?f(x)递减,所以最小值是②当时,yf(a)?2a3?3(a?1)a2?6a2?3a2?a3;
a??1时,且2|a|?2,在x?[0,2|a|]时,x?(0,1)时,y?f(x)递减,x?[1,2|a|]?f(x)递增,所以最小值是f(1)?3a?1;
综上所述:当a?1时,函数y?f(x)最小值是3a2?a3;当a??1时,函数y?f(x)最小值是
3a?1;
10．（2019年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000?元(?为圆周率).
(Ⅰ)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;z
数学试卷
(Ⅱ)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.z 【答案】
11．（2019年高考陕西卷（文））已知函数f(x)?ex,x?R.
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
12x?x?1有唯一公共点. 2f(b)?f(a)?a?b?(Ⅲ) 设a 2b?a??(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y?【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数g(x)?lnx,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=g'(1). 1?k?g'(1)?1.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 x12(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线y?x?x?1有唯一公共点,过程如下. 211令h(x)?f(x)?x2?x?1?ex?x2?x?1,x?R,则 22g'(x)?h'(x)?ex?x?1,h'(x)的导数h''(x)?ex?1,且h(0)?0，h'(0)?0，,h''(0)?0 因此,当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递减;当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递增 数学试卷 ?y?h'(x)?h'(0)?0,所以y?h(x)在R上单调递增，最多有一个零点x?0 所以,曲线y=f(x)与曲线y?(Ⅲ) 设 12x?x?1只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b)?? 2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?(b?a?2)?eb(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa???e 2?(b?a)2?(b?a)令g(x)?x?2?(x?2)?e,x?0,则g'(x)?1?(1?x?2)?e?1?(x?1)?e. xxxg'(x)的导函数g''(x)?(1?x?1)?ex?x?ex?0,所以g'(x)在（0，??）上单调递增, 且g'(0)?0.因此g'(x)?0，g(x)在(0,??)上单调递增,而g(0)?0, 所以在(0,??)上g(x)?0. ?当x?0时，g(x)?x?2?(x?2)?ex?0且a?b, f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa当a 12．（2019年高考大纲卷（文））已知函数f?x?=x3?3ax2?3x?1. (I)求a?2时，讨论f?x?的单调性;; (II)若x??2,???时，f?x??0,求a的取值范围. '232【答案】(Ⅰ)当a?-2时,f?x?=x-32x?3x?1. f(x)?3x?62x?3. 令f(x)?0,得,x1?2?1,x2?2?1. '当x?(??,2?1)时,f(x)?0,f(x)在(??,2?1)是增函数; ''当x?(2?1,2?1)时,f(x)?0,f(x)在(2?1,2?1)是减函数; '当x?(2?1,??)时,f(x)?0,f(x)在(2?1,??)是增函数; (Ⅱ)由f(2)?0得,a??当a??5. 45,x?(2,??)时, 451f'(x)?3(x2?2ax?1)?3(x2?x?1)?3(x?)(x?2)?0, 22所以f(x)在(2,??)是增函数,于是当x?[2,??)时,f(x)?f(2)?0. 综上,a的取值范围是[?,??). 54数学试卷 13．（2019年高考辽宁卷（文））(I)证明:当x??0,1?时，2x?sinx?x; 2x3?2?x?2?cosx?4对x??0,1?恒成立，求实数a的取值范围. (II)若不等式ax?x?22【答案】
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