高二数学教学案
时间：2010.12.25 课题 目标要求 重点 难点 两个向量的数量积 课型 新授 1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。 空间数量积的计算方法 几何意义、立体几何问题的转化 一、预习提纲：
1．空间向量的夹角及其表示、异面直线 2．向量的数量积
3．空间向量数量积的性质 4．空间向量数量积运算律 二、预习达标：
rr1、a?b?c?0，a=2，b=3，c?4，则?a,b?=______
2???? B、 C、 D、
3342rr2?2、空间向量a、b满足a=4，b=8，?a,b?=，求
3（1）（a+2b）?a=_____________,
A、
（2）（a+2b）?(2a?b)=__________________
三、学案导学：
1．空间向量的夹角及其表示：
uuurruuurrrr已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫
rrrrrr做向量a与b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有
rrrr?a,b???b,a?；
rr?rrrr若?a,b??，则称a与b互相垂直，记作：a?b；
2﹡ 异面直线：_______________________________
2．向量的模： uuurruuurrr设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|； 3．向量的数量积：
rrrrrrrr已知向量a,b，则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数
rrrrrrrrr量积，记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?． uuurrB e r已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，作点B在l上的射影B?，则A? B? uuuuruuurrA?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明A C uuuuruuuruuuurrrrrA?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|． 4．空间向量数量积的性质：
rrrrr（1）a?e?|a|cos?a,e?．
rrrr（2）a?b?a?b?0．
rrr（3）|a|2?a?a．
5．空间向量数量积运算律：
rrrrrr(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． （1）
rrrr（2）a?b?b?a（交换律）．
rrrrrrr（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）． 四、典例剖析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与平面?的交点为B，且l?m,l?n 求证：l??．
证明：在?内作不与m,n重合的任一直线g，
rrrrl在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，
rr∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在
rrrmg唯一有序实数对(x,y)，使g?xm?yn， lnrrrrrrrrrrngm∴l?g?xl?m?yl?n，又∵l?m?0,l?n?0，
rrrr∴l?g?0，∴l?g，∴l?g，
所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l??．
例2．已知空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?BD，求证：AD?BC．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur证明：（法一）AD?BC?(AB?BD)?(AC?AB)
uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur ?AB?AC?BD?AC?AB?AB?BD
uuuruuuruuuruuuruuuruuur ?AB?(AC?AB?BD)?AB?DC?0．
uuurruuurruuurr（法二）选取一组基底，设AB?a,AC?b,AD?c，
rrrrrrr∵AB?CD，∴a?(c?b)?0，即a?c?b?a，
rrrr同理：a?b?b?c，， rrrr∴a?c?b?c，
uuuruuurrrr∴c?(b?a)?0，∴AD?BC?0，即AD?BC．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。
例3．如图，在空间四边形OABC中，OA?8，AB?6，AC?4，BC?5，?OAC?45o，?OAB?60o，求OA与BC的夹角的余弦值。
uuuruuuruuur解：∵BC?AC?AB，
uuuruuuruuuruuuruuuruuurO ∴OA?BC?OA?AC?OA?AB
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur?|OA|?|AC|?cos?OA,AC??|OA|?|AB|?cos?OA,AB?
?8?4?cos135o?8?6?cos120o?24?162
uuuruuuruuuruuurOA?BC24?1623?22ruuur? ∴cos?OA,BC??uuu， ?8?55|OA|?|BC|A B C
3?22． 5uuuruuur说明：由图形知向量的夹角时易出错，如?OA,AC??135o易错写成uuuruuur?OA,AC??45o，切记！
所以，OA与BC的夹角的余弦值为
五、当堂达标：
课本88页练习A 1、2、3
六、课堂小结：
七、课后巩固：
1、若a、b是两个非零向量，且a2? b=b2? a，则a、b的关系是______
A、相等 B、共线不一定相等 C、不共线 D、a、b为任意非零向量
rr3?2、m?a?b,n?a??b，?a,b?=，m?n ，求实数?的值
4
rrrrrrrroa,b|a|?1,|b|?2,|c|?3， a?bc3．已知向量，向量与的夹角都是60，且
rr2rrr2rrrr试求：（1）(a?b)；（2）(a?2b?c)；（3）(3a?2b)?(b?3c)．
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角
两个向量的数量积(教案)
