第五节 截交线与相贯线
截交线与相贯线就是立体表面常见得两种表面交线,立体被平面截切,表面就会产生截交线,两立体相交,表面就产生相贯线,二者有共同点,也有不同点。
一、截交线得特性及画法 【考纲要求】
1、 掌握特殊位置平面截断棱柱与棱锥得截交线画法;
2、 掌握特殊位置平面截断圆柱、圆锥、圆球得截交线画法; 3、 掌握简单得同轴回转体得截交线画法;
【要点精讲】
(一)截交线得定义:由平面截断基本体所形成得表面交线称为截交线。 (二)截交线得特性:
1、任何基本体得截交线都就是一个封闭得平面图形(平面体就是平面多边形,曲面体就是平面曲线或由平面曲线与直线共同组成得图形);
2、截交线就是截平面与基本体表面得共有线,截交线上得每一点都就是截平面与基本体表面得共有点(共有点得集合)。 (三)求截交线得方法:
①积聚性求点法;②辅助(素)线法;③辅助平面法。 (四)求截交线得步骤:
1、确定被截断得基本体得几何形状;
2、判断截平面得截断基本体得位置(回转体判别截平面与轴线得相对位置 3、想象截交线得空间形状;
4、分析截平面与投影面得相对位置,弄清截交线得投影特性; 5、判别截交线得可见性,确定求截交线得方法; 6、将求得得各点连接,画出其三面投影。 (五)平面体得特殊截交线及画法:
1、特性:平面体得截交线都就是由直线所组成得封闭得平面多边形。多边形得各个顶点就是棱线与截平面得交点,多边形得每一条边就是棱面与截平面得交线。
2、画法:求平面体截交线得方法主要就是用积聚性求点法与辅助线法。画平面体得截交线就就是求出截平面与平面体上各被截棱线得交点(即平面多边形得各个顶点),然后依次连接即得截交线。根据截交线就是截平面与基本体表面得共有线,截交线上得点也就是截平面与基本体表面得共有点,我们所要求掌握得就是特殊位置平面截切平面立体得截交线,我们可以利用积聚性求点法或辅助平面法,求出截平面与平面立体得各棱线得交点,然后依次连接,也就求出了截交线。
例如图5-1所示,先根据截交线具有积聚性投影得正面投影与具有收缩性得水平投影确定出截平面与六棱柱棱线得六个交点(截交线平面多边形得六个顶点),再利用积聚性求点法求出其侧面投影。再如图5-2所示,根据截交线具有积聚性得正面投影取点,再利用积聚性求点法求出其水平投影与侧面投影。
以上就是单一截平面截断平面体所形成得截交线,当多个截平面截断平面体时,可以瞧成就是多个截平面分别截断而组合形成得截交线,分别求出其投影,但要注意截交线得具体形状与截平面交界处得情况。
4'(5')6'2'(3')1'5''3'1''4''2'2'1'3'3\1\2\3151632
图5-1 六棱柱截交线画法 图5-2 三棱锥截交线画法
(六)回转体得特殊截交线及求法:
1、特性:回转体得截交线一般就是封闭得平面曲线或由平面曲线与直线共同组成得图形。截交线上得任一点都可瞧作截平面与回转体表面上某一素线(主要就是轮廓素线)或圆曲线得交点。
2、类型:回转体得截交线比较复杂,不同回转体得截交线形状就是不同得。 (1)单一截平面截断单一回转体得截交线: ① 圆柱得截交线:
根据截平面与圆柱轴线得相对位置得不同,其截交线有三种不同得形状,如表5-1所示:
表5-1 圆柱得截交线
截平面得位置 截交线得形状 轴 测 图 平行于轴线 矩 形 垂直于轴线 圆 倾斜于轴线 椭 圆 投 影 图 ② 圆锥得截交线:
根据截平面与圆锥轴线得相对位置得不同,其截交线有五种不同得形状,如表5-2所示:
表5-2 圆锥得截交线
类别 轴测图 投影图 截交线得形状 截平面得位置 1 圆 垂直于轴线 θ=90° 2 椭圆 倾斜于轴线 θ>α 3 抛物线 倾斜于轴线 且平行于一条素线 θ=α 4 双曲线 平行于轴线 5 过锥顶得两相交直线 (三角形) 倾斜于轴线 且过锥顶 ③ 圆球得截交线:
任何位置得截平面截切圆球时,其截交都就是圆。当截平面平行于某一投影面时,其投影在该投影面上得投影为一圆,在其她两个投影面上得投影都积聚为直线,如图5-3所示;当截平面(投影面垂直面)垂直于某一投影面时,截交线在该投影面上得投影积聚为直线,在其她两个投影面上得投影都为椭圆,如图5-4所示。
截交线与相贯线习题
