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分式运算技巧汇编(整合版)

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分式运算技巧

分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目,使用一般方法有时计算量太大,导致出错,有时甚至算不出来,对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.

一、逐步通分法

例1 计算

111 ??21?x1?x1?x分析:此题若采用将各项一起通分后相加的方法,计算量很大.注意到前后分母之间存 在着平方差关系,可逐步通分达到目的.

解:原式=

224= ?1?x21?x21?x4评注:若一次通分,计算量太大,利用分母间的递进关系,逐步通分,避免了复杂的计算.依次通分构成平方差公式,采用逐步通分,则可使问题简单化。

二、整体通分法

a2?a?1 例2 计算

a?1 分析 题目中既有分式又有整式,不相统一,我们可以寻求到可以做为整体的部分,那么计算起来就可以简便一些.

a2(a?1)(a?1)a2?a2?11???解:原式= a?1a?1a?1a?1评注:此题是一个分式与多项式的和,若把整个多项式看作分母为1的分式,再通分相

加,使得问题的解法更简便.

三、分裂整数法 例3. 计算:

x?2x?3x?5x?4 ???x?1x?2x?4x?3分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法,对分子降次后再通分.

解:原式?x?1?1x?2?1x?4?1x?3?1???x?1x?2x?4x?31111?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)

x?1x?2x?4x?31111????x?1x?2x?4x?3x?2?(x?1)x?3?(x?4)?(x?1)(x?2)(x?4)(x?3)

11??(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?

??(x?3)(x?4)?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)x?7x?12?x?3x?2(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?10x?10

(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)22

?评注:当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时,一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中,也可使用分裂整数法。

四、裂项相消法

例4. 计算:

解:原式

说明:对形如上面的算式,分母要先因式分解,再逆用公式,各个

分式拆项,正负抵消一部分,再通分。在解某些分式方程中,也可使用裂项相消法。

五. 活用乘法公式

例4. 计算:解:当

时,

原式

说明:在本题中,原式乘以同一代数式,之后再除以同一代数式还原,就可连续使用平方差公式,分式运算中若恰当使用乘法公式,可使计算简便。

六. 见繁化简法 例6. 计算:

2x?2x?23?x ??222x?3x?2x?x?6x?4x?3分析 分式加减时,如果分母不同要先分解因式,再找到公分母,把每个分式的分母都化为公分母的形式 解:原式?2(x?1)x?2x?3??

(x?2)(x?1)(x?3)(x?2)(x?3)(x?1)211??x?2x?3x?1

2(x2?4x?3)?(x2?3x?2)?(x2?5x?6)?(x?1)(x?2)(x?3)???2

(x?1)(x?2)(x?3)评注:若运算中的分式不是最简分式,可先约分,再选用适当方法通分,可使运算简便。 在分式运算中,应根据分式的具体特点,灵活机动,活用方法。方能起到事半功倍的效率。

七、挖掘隐含条件,巧妙求值

x2?5x?6例7 若x?9?0,则=___________。

x?32解:∵x2?9?0,∴x??3 但考虑到分式的分母不为0,故x=3 所以,原式?(x?2)(x?3)?0

x?3说明:根据题目特点,挖掘题中的隐含条件,整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。

八、巧用特值法求值

例8 已知

2x?3y?4zxyz=_____________。 ??,则

4563z解:此题可直接令x=4,y=5,z=6,代入得: 原式?2?4?3?5?4?6

3?6?17 18说明:根据题目特点,给相关的字母赋予特定的数值,可简化求解过程。

九、巧设参数(辅助未知数)求值 例9 已知实数x、y满足x:y=1:2,则

3x?y?__________。 x?y解:设

xy3k?2k1??k,则x?k,y?2k,故原式?? 12k?2k3说明:在解答有关含有比例式的题目时,设参数(辅助未知数)求解是一种常用的方法。

十、 整体代入 例10 若

113x?5xy?3y?=5,求的值.

x?3xy?yxy113(x?y)?5xy?=5变形,得x-y=-5xy,再将原式变形为,把x-y=-5xy

(x?y)?3xyxy分析:将

代入,即可求出其值.

解:因为

11?=5,所以x-y=-5xy. xy3(x?y)?5xy3?(?5xy)?5xy?10xy5===.

(x?y)?3xy?5xy?3xy?8xy4所以原式=

说明:在已知条件等式的求值问题中,把已知条件变形转化后,通过整体代入求值,

可避免由局部运算所带来的麻烦.

十一、倒数法

a21例11、已知a+=5.则4=__________.

a?a2?1a

a2分析:若先求出a的值再代入求值,显然现在解不出.如果将4的分子、分

a?a2?1a4?a2?121母颠倒过来,即求=a+1+的值,再进一步求原式的值就简单很多.

a2a2解:因为a+所以(a+

1=5, a1212

)=25,a+2=23. aaa4?a2?121所以=a+1+=24, 22aaa21所以4=.

a?a2?124说明:利用x和

1互为倒数的关系,沟通已知条件与所求未知式的联系,使一些分式x求值问题思路自然,解题过程简洁.

十二、主元法

x2?y2?z2例12 已知xyz≠0,且3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求的值.

xy?yz?2zx解:将z看作已知数,把3x-4y-z=0与2x+y-8z=0联立, 得 3x-4y-z=0,

2x+y-8z=0. 解得 x=3z, y=2z.

(3z)2?(2z)2?z214z2?1. 所以,原式==2(3z)?(2z)?(2z)?z?2z?(3z)14z说明:当已知条件等式中含有多元(未知数)时(一般三元),可视其中两个为主元,另一个为常量,解出关于主元的方程组后代入求值,可使问题简化.

十三、 特殊值法 例13 已知abc=1,则

abc++=_________.

ab?a?1bc?b?1ca?c?1分析:由已知条件无法求出a、b、c的值,可根据已知条件取字母的一组特殊值,然后代入求值.

解:令a=1,b=1,c=1,则

原式=

111111++=++=1.

1?1?1?11?1?1?11?1?1?1333说明:在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值,可准确、迅速地求出结果.

分式运算技巧汇编(整合版)

分式运算技巧分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分.但对某些较复杂的题目,使用一般方法有时计算量太大,导致出错,有时甚至算不出来,对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分法例1计算111??21?x1?x1?x分析:此题若采用将各项一起通分后相加
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