分式运算技巧
分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.
一、逐步通分法
例1 计算
111 ??21?x1?x1?x分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的．
解：原式=
224= ?1?x21?x21?x4评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。
二、整体通分法
a2?a?1 例2 计算
a?1 分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.
a2(a?1)(a?1)a2?a2?11???解：原式= a?1a?1a?1a?1评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相
加，使得问题的解法更简便．
三、分裂整数法 例3. 计算：
x?2x?3x?5x?4 ???x?1x?2x?4x?3分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分.
解:原式?x?1?1x?2?1x?4?1x?3?1???x?1x?2x?4x?31111?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)
x?1x?2x?4x?31111????x?1x?2x?4x?3x?2?(x?1)x?3?(x?4)?(x?1)(x?2)(x?4)(x?3)
11??(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?
??(x?3)(x?4)?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)x?7x?12?x?3x?2(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?10x?10
(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)22
?评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
四、裂项相消法
例4. 计算：
解：原式
说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个
分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用裂项相消法。
五. 活用乘法公式
例4. 计算：解：当
且
时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
六. 见繁化简法 例6. 计算：
2x?2x?23?x ??222x?3x?2x?x?6x?4x?3分析 分式加减时，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每个分式的分母都化为公分母的形式 解：原式?2(x?1)x?2x?3??
(x?2)(x?1)(x?3)(x?2)(x?3)(x?1)211??x?2x?3x?1
2(x2?4x?3)?(x2?3x?2)?(x2?5x?6)?(x?1)(x?2)(x?3)???2
(x?1)(x?2)(x?3)评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。 在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。
七、挖掘隐含条件，巧妙求值
x2?5x?6例7 若x?9?0，则=___________。
x?32解：∵x2?9?0，∴x??3 但考虑到分式的分母不为0，故x=3 所以，原式?(x?2)(x?3)?0
x?3说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。
八、巧用特值法求值
例8 已知
2x?3y?4zxyz=_____________。 ??，则
4563z解：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得： 原式?2?4?3?5?4?6
3?6?17 18说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。
九、巧设参数（辅助未知数）求值 例9 已知实数x、y满足x:y=1:2，则
3x?y?__________。 x?y解：设
xy3k?2k1??k，则x?k，y?2k，故原式?? 12k?2k3说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。
十、 整体代入 例10 若
113x?5xy?3y?=5，求的值．
x?3xy?yxy113(x?y)?5xy?=5变形，得x-y=-5xy,再将原式变形为，把x-y=-5xy
(x?y)?3xyxy分析：将
代入，即可求出其值．
解：因为
11?=5，所以x-y=-5xy. xy3(x?y)?5xy3?(?5xy)?5xy?10xy5===.
(x?y)?3xy?5xy?3xy?8xy4所以原式=
说明：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，
可避免由局部运算所带来的麻烦．
十一、倒数法
a21例11、已知a+=5．则4=__________.
a?a2?1a
a2分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将4的分子、分
a?a2?1a4?a2?121母颠倒过来，即求=a+1+的值，再进一步求原式的值就简单很多．
a2a2解：因为a+所以（a+
1=5， a1212
）=25，a+2=23. aaa4?a2?121所以=a+1+=24， 22aaa21所以4=.
a?a2?124说明：利用x和
1互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式x求值问题思路自然，解题过程简洁．
十二、主元法
x2?y2?z2例12 已知xyz≠0,且3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0,求的值.
xy?yz?2zx解：将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立， 得 3x－4y－z=0,
2x＋y－8z=0. 解得 x=3z, y=2z.
(3z)2?(2z)2?z214z2?1. 所以，原式==2(3z)?(2z)?(2z)?z?2z?(3z)14z说明：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化．
十三、 特殊值法 例13 已知abc=1,则
abc＋＋=_________.
ab?a?1bc?b?1ca?c?1分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值．
解：令a=1，b=1，c=1，则
原式=
111111++=++=1.
1?1?1?11?1?1?11?1?1?1333说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．
分式运算技巧汇编(整合版)
