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参数方程典型例题分析
例1 在方程(为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( ).
(A)(2,-7)(B)(,)(C)(,)(D)(1,0)
分析 由已知得可否定(A)又,分别将,,
1代入上式得,,-1,∴(,)是曲线上的点,故选(C).
例2 直线,点P 分
所成的比为
(为参数)上的点A,B所对应的参数分别为, ,那么点P 对应的参数是( ).
(A) 分析 将,
(B)分别代入参数方程,
(C) (D)
得A 点的横坐标致为,B 点的横坐标为,
由定比分点坐标公式得P 的横坐标为
,
可知点P所对应的参数是故应选(C).
例3 化下列参数方程为普通方程,并画出方程的曲线.
(1) (为参数,)
(2) (为参数);
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(3) (为参数),
解:(1)∵
∴ ,
∴
或
故普通方程为
(
或
),方程的曲线如图.
(2)将代入得
∵普通方程为(),方程的曲线如图.
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(3)两式相除得代入得
整理得
∵
∴ 普通方程为(),方程的曲线如图.
点评(l)消去参数的常用方法有代入法,加减消元法,乘除消元法,三角消元法等;(2)参数方程化普通方程在转化过程中,要注意由参数给出的,数方程等价.
的范围,以保证普通方程与参
例4 已知参数方程
① 若为常数,为参数,方程所表示的曲线是什么? ② 若为常数,为参数,方程所表示的曲线是什么?
解:①当时,由(1)得,由(2)得,
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∴
,
它表示中心在原点,
长轴长为 当
时,
,短轴长为
,
的一段线段.
焦点在轴上的椭圆.
,
它表示在轴上
②当()时,由(1)得,
由(2)得.平方相减得,
即
它表示中心在原点,实轴长为 焦点在轴上的双曲线. 当
(
)时,
,虚轴长为,
,它表示轴;
当()时,,
∵(时)或(时)
∴
,
∴ 方程为(),
它表示轴上以(-2,0)和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线.
点评 本题的启示是形式相同的方程,由于选择参数的不同,可表示不同的曲线,因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数.
例5 直线直线的倾斜角
(为参数)与圆
为( ).
(为参数)相切,则
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(A)或 (B)或 (C)或 (D)或
分析 将参数方程化为普通方程,直线为(),
当时不合题意.
因为,它们相切的充要条件是,
解得 ,又,
∴ 或,故选(A).
例6 求椭圆上的点到直线的最大、最小距离.
解 将椭圆普通方程化为参数方程 则椭圆任意一点 于是点
到直线
的坐标可设为
(的距离
(,
), ),
∴,此时;,此时
点评 利用参数方程,将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式,这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数,将二元函数的问题转化为一元函数的问题.
例7 已知点P是圆C:
点为Q,半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转
上一动点,点P关于点A(5,0)的对称后得到点M,求
的最大值和最小值.
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