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参数方程典型例题分析
例1 在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ）．
（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）
分析 由已知得可否定（A）又，分别将，，
1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．
例2 直线，点P 分
所成的比为
（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，那么点P 对应的参数是（ ）．
（A） 分析 将，
（B）分别代入参数方程，
（C） （D）
得A 点的横坐标致为，B 点的横坐标为，
由定比分点坐标公式得P 的横坐标为
，
可知点P所对应的参数是故应选（C）．
例3 化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．
（1） （为参数，）
（2） （为参数）；
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（3） （为参数），
解：（1）∵
∴ ，
∴
或
故普通方程为
（
或
），方程的曲线如图．
（2）将代入得
∵普通方程为（），方程的曲线如图．
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（3）两式相除得代入得
整理得
∵
∴ 普通方程为（），方程的曲线如图．
点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，数方程等价．
的范围，以保证普通方程与参
例4 已知参数方程
① 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ② 若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
解：①当时，由（1）得，由（2）得，
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∴
，
它表示中心在原点，
长轴长为 当
时，
，短轴长为
，
的一段线段．
焦点在轴上的椭圆．
，
它表示在轴上
②当（）时，由（1）得，
由（2）得．平方相减得，
即
它表示中心在原点，实轴长为 焦点在轴上的双曲线． 当
（
）时，
，虚轴长为，
，它表示轴；
当（）时，，
∵（时）或（时）
∴
，
∴ 方程为（），
它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．
点评 本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．
例5 直线直线的倾斜角
（为参数）与圆
为（ ）．
（为参数）相切，则
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（A）或 （B）或 （C）或 （D）或
分析 将参数方程化为普通方程，直线为（），
当时不合题意．
因为，它们相切的充要条件是，
解得 ，又，
∴ 或，故选（A）．
例6 求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．
解 将椭圆普通方程化为参数方程 则椭圆任意一点 于是点
到直线
的坐标可设为
（的距离
（，
）， ），
∴，此时；，此时
点评 利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．
例7 已知点P是圆C：
点为Q，半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转
上一动点，点P关于点A（5，0）的对称后得到点M，求
的最大值和最小值．
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参数方程典型例题分析
