经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：0.23 ，1.010010001?，，3π，，，其中，无理数的个
数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001?，3π， 故选C
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（ ） A、
的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、
=±1 D、
是5的平方根的相反数
是无理数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵
=9，9的平方根是±3，∴A正确．
=1，
是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
∵1的立方根是1，
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A、1 B、1.4 C、 D、
，
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为由圆的定义知|AO|=
【变式3】
因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴
，∴A表示数为
，故选C．
【答案】∵π= 3.1415?，∴9＜3π＜10
类型二．计算类型题
A.
2．设
，则下列结论正确的是（ ） B.
C. D.
，所以选B
解析：（估算）因为
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）
___________， ___________，___________.
【答案】1）
；.2）-3. 3）， ，
【变式2】求下列各式中的 （1） 【答案】（1）
（2）
（3）
（2）x=4或x=-2（3）x=-4
类型三．数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为
，点B在数轴上表示的数为
，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点， 举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，表示的数是（ ）．
的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C
A．
－1 B．1－
C．2－
D．
－2
【答案】选C
[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简 【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
(1) | (3) |
4．化简下列各式： -1.4| (2) |π-3.142| -| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解：(1) ∵ ∴|
=1.414?＜1.4 -1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159?＜3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π (3) ∵
＜
, ∴|
-|=
-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对楚的认识，并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
22
∵(x+3)≥0, ∴(x+3)+1＞0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三：
=
+
-
这个绝对值的基本概念要有清
【变式1】化简： 【答案】
=
类型五．实数非负性的应用
5．已知：=0，求实数a, b的值。 不能为0，只能有
＞0，则要求a+7＞0，分子
+|a-49|=0，
2
分析：已知等式左边分母
由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组
从而求出a, b的值。
解：由题意得
2
由(2)得 a=49 ∴a=±7
由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。 ∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21 ∴a=7, b=21为所求。 举一反三：
【变式1】已知(x-6)2+ 解：∵(x-6)2+ 且(x-6)2≥0,
+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
+|y+2z|=0
≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知
【答案】初中阶段的三个非负数： a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
那么a+b-c的值为___________ ，
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。 解：设新正方形边长为xcm， 根据题意得 x=11+13×8 ∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去， ∴只取x=15(cm)
答：新的正方形边长应取15cm。
举一反三：
【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下
2
2
的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）
（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
多24cm，求中间小正方形的边长.
2
解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
，所以面积为=
， 。
，
（或
，，即
小正方形的边长：
，
大正方形的面积= 一个长方形的面积= 所以，
答：中间的小正方形的面积 发现的规律是： (2) 又
大正方形的边长：
）
大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
代入，得：
cm
所以有， 化简得： 将
答：中间小正方形的边长2.5 cm。
实数经典例题及习题
