高等数学(H)期末参考答案
、填空题(每小题 3分，共36 分)
1 xy-
Hr 1
L 1 二 lim i1 — xy
丿劣xy丿 1.lim 1 —
Xf
Jlim 1 丄 阚I
xy丿
V
2.函数z
二z(x, y)由方程e^ sin》=0确定，则 —=
Fy
x
2
2
cy
F
1 y
-cos- x xz x xe
co显
X ~2 xz x e
2
u = ln ..x ? y ? z，则它在点 M°(1, -1,1)处地方向导数地最大值为3.设函数
4.设函数 f (x, y) =2x ax xy 2y在点(1, -1)处取得极值，则常数 a =「5.
22
225.空 线 y 二 2x, z = 1「x 在点 1 .2
x -- =_y -1 z ―—
2 2
1 1
一 2
i 2
2 2x _x2
(>,J处地切线方程为
1 °
1 ? 1 _y
x,
6.改变积分次序：I dx ,
7.设平面曲线L为下半圆周y二 - .1 - x
f (x, y)
dy -2
dy 亠口？ f(y)dx .
8.设匕为曲面z = . x y在0岂z乞1地部分，贝U I I xdS二0 .
22
--?：：： x ■ 0 e
9.设 f (x) n ,则其以2兀为周期地傅里叶级数在处收敛于 0 岂 x ：二'
1,
-x
10.设y1, y2, y是微分方程 9 p(x)y ' q(x)y二f (x)地三个不同地解，且 y—社=常 y2 -
y3
数，则微分方程地通解为
C’y, -y2) ? C2(y2 - y3) * % .
2 2
1 2
，贝U [ (x + y ) ds = (1 -ds = ? 4 兀=三
11.函数f(x) =
1 展开为x地幕级数地形式为 a」yxn
(-2, 2).
2—x n^2n41
1
12.微分方程y y = xex
地通解为
Cx - xex
x
-------
二、计算下列各题(每小题
6分，共18分)
1?设z二f(y,exy
)，y =
(x)，其中f,「均为一阶可微函数，求 dz x
dx
解:虫=f「
yx2 y f2 exy
( y xy)
dx
x
xy
二
2
f2 e( (x) X : (x))
x
2.求曲面z =4
(x2
y2
)与平面z = 2所围立体地体积. 2
解：所围立体在xoy面地投影域D ： x
2
? y2
_ 4，所围立体地体积
V = M[4_；(x2
+y2
)] _2Rxdy = 2JJdxdy —
(x2 y2)dxdy
1 2
二.2
D
2
d ： r rdr =8 二-4 二-4 ■:
22
3.在曲面x 2y 3z-66上第一卦限部分求一
点，使该点地切平面与解：设曲面在第一卦限地切点地坐标为
M (x, y, z)，令
F (x, y,z) = x2
2y2
3z2
「66，
则切平面地法向量
n = (Fx, Fy, FZ)M 二(2x, 4y, 6z),
已知平面x y ^1地法向量
n1 =(1, 1, 1)
依题意n//ni，即 空=41 =央令t
1 1 1
代入曲面方程中解地 x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M (6, 3, 2). 三、计算下列各题(每小题
6分，共18分)
1.设门是由锥面
.x2 y2与半球面z= J -x2 -y2围成地空间区域,
已知平面
边界地外侧，求曲面积分
[jxdydz- ydzdx ? zdxdy.
解：已知 P(x, y,z) = x , Q(x, y,z)=y， R(x, y,z) = z，由高斯公式有
cP cQ
■i I xdydz ydzdx zdxdy 二 (
￥ ￥
r r
cR )dv _z
r L\\、
x _y
4
2
= 3 ! i idv = 3 o dr °d [；rsin ： dr
Q
=3 2 二(1 13 2 2 2 2
解：该数项级数地通项为 Un二
) [=(2-、2)二 2 3 5
7
.若级数收敛时，试求其和
2
2.写出级数--飞 N ?…地通项，判别该级数地敛散性
2n -1 2
n
;级数为正项级数，由于
limUnl^im nn
= un =2 2n —1
由比值审敛法知该级数收敛.令
oO
n
1
,
2
oO
n
oo
s(x) 八(2n -1) x = 2x'二 n
x
x o
:: X
n -1
=2x?(x)-s2(x) x (—1,1)，
3(t)dt 二 I。」dt八X
n =1
nt
x
n
si(x)
1
dx I
00
s1(t)dt
二厂屛，
od
S2(x) = \\ x
n =1
n
x 1 -
所以
2x s
(x)_ (1 _x)2 _1 x
1
(5 …)，
x
2
2
(2n-1)于 . n 1 2 _(1 x+ x_ 1
- X) s()
I 2
二
X
1 x=
2
3?求微分方程y ” 一 3y「2y = 2e地通解?
解：微分方程对应地齐次线性微分方程地特征方程r
2
x
_3r ? 2 = 0地特征根为
y*二Axe,
x
ri =1, a =2 , f(x)=2e
x
地冬=1为特征方程地单根，则原方程地特解为
丫二Ge
x
代入原方程中得 A - -2,齐次线性微分方程地通解为 为 b5E2RGbCAP
? C2e
2x
，所以原方程地通解
y =丫 y* =Gex C2e2x -2xex.
四、计算下列各题(每小题
6分，共18分)
2 2
1.求函数 f (x, y)二 4(x - y) - x - y 地极值.
&
亠十上
”fx(x,y)
f
=0 'x=
2
解：由于
x
(x, y) = 4 — 2x， fy (x, y) = —4 — 2y，令」￡/ ,得驻八、、丿 ,
fy(x, y) = 0 y = -2
f
又 = fxx(x, y) =-2 , B =
A
xy
(x,y) = 0 , C = fyy(x,y) = -2，及(B - AC)(2,_2)= - ,
4
则点(2, -2)位极大值点，极大值为
f(2, -2) =4[2-(-2)] -2 -(-2) = 8.
2.求幕级数7
22
(x-1) 地收敛半径及收敛域
nn2 n经
00
CO
n
(x _1)n
)
a
oO
解：令 t = X -1，则 7 '
=11
由于
lim n 1 F
a
则收敛半径
n2n
二 lim -7 n >:=n 1
(n 1)2
收敛，当t = 2时，级数J -发散，所以
R = 2 .又当t =「2时,
r [ -2, 2)，即级数地收敛域为[-1, 3).
x
3.设z二sin(xy) ?「(x,)，其中(u, v)具有二阶偏导数，求
y
c2z
’一
c^cy
解：- = y cos(xy) 1(x, -) — 2(x, —),
z
x y y y
西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题
