3.2.1 古典概型
1.了解基本事件的特点,能写出一次试验所出现的基本事件.(易错易混点) 2.理解古典概型及其概率计算公式,会判断古典概型.(难点) 3.会用列举法求古典概型的概率.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 基本事件的特点
阅读教材P125例1以上的部分,完成下列问题. 1.任何两个基本事件是互斥的.
2.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有( )
A.1个 C.3个
B.2个 D.4个
【解析】 基本事件有(数学,计算机),(数学,航空模型),(计算机,航空模型)共3个.
【答案】 C
教材整理2 古典概型
阅读教材P126~P127“探究”以上的部分,完成下列问题. 1.古典概型的特点
如果某类概率模型具有以下两个特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等.
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 2.古典概型的概率公式 对于任何事件A,P(A)=
A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.( )
(2)“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是基本事件.( )
(3)从装有三个大球、一个小球的袋中,取出一球的试验是古典概型.( ) 1
(4)一个古典概型的基本事件数为n,则每一个基本事件出现的概率都是.( )
n【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( ) 1
A. 61
C. 3
1
B. 22D. 3
【解析】 基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个,21
甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率:P==. 63
【答案】 C
3.若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本,3本,2本,则随机抽出一本是物理书的概率为________.
【解析】 从中随机抽出一本书共有10种取法,抽到物理书有3种情况,故抽到物理3
书的概率为. 10
【答案】
3 10
[小组合作型]
基本事件和古典概型的判断 (1)抛掷一枚骰子,下列不是基本事件的是( )
A.向上的点数是奇数 B.向上的点数是3 C.向上的点数是4 D.向上的点数是6
(2)下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件 C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
【精彩点拨】 结合基本事件及古典概型的定义进行判断,基本事件是最小的随机事件,而古典概型要两个特征——有限性和等可能性.
【尝试解答】 (1)向上的点数是奇数包含三个基本事件:向上的点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,则A项不是基本事件,B,C,D项均是基本事件.故选A.
(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的基本事件是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.
【答案】 (1)A (2)C
1.基本事件具有以下特点:①不可能再分为更小的随机事件;②两个基本事件不可能同时发生.
2.判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
[再练一题]
1.下列试验是古典概型的为________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小; ②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率; ③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
【解析】 ①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
【答案】 ①②④
基本事件的计数问题 有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,
y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出:
(1)试验的基本事件;
(2)事件“朝下点数之和大于3”; (3)事件“朝下点数相等”;
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.
【精彩点拨】 根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可.
【尝试解答】 (1)这个试验的基本事件为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件:
(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). (4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).
1.在求基本事件时,一定要按规律去写,这样不容易漏写. 2.确定基本事件是否与顺序有关.
3.写基本事件时,主要用列举法,具体写时可用列表法或树状图法.
[再练一题]
2.连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上. (1)写出这个试验的所有基本事件; (2)求这个试验的基本事件的总数;
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件?
【解】 (1)这个试验包含的基本事件有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).
(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
的3个红球,从中任意摸出2个球.
(1)写出所有不同的结果;
简单的古典概型的概率计算 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率; (3)求至少摸出1个黑球的概率.
【精彩点拨】 (1)可以利用初中学过的树状图写出;(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出;(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出.
【尝试解答】 (1)用树状图表示所有的结果为:
所以所有不同的结果是ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de. (2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,
则事件A包含的基本事件为ac,ad,ae,bc,bd,be,共6个基本事件, 6
所以P(A)==0.6,
10
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. (3)记“至少摸出1个黑球”为事件B,
则事件B包含的基本事件为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7个基本事件, 7
所以P(B)==0.7,
10
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
1.求古典概型概率的计算步骤 (1)确定基本事件的总数n;
(2)确定事件A包含的基本事件的个数m;