（
1凹（凸）函数 凸集
一）函数
凸集：对于任意两点u?S和v?S，且对于每一个??[0,1]，当且仅当
w??u?(1??)v?S为真时，集合S?Rn为凸集。
凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。 凹（凸）函数
介绍凸集是为了引入凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数y??x?4x?4就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形；函数y?x?4x?4就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。 现在具体给出凹（凸）函数的定义：
对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当 时，函数f为凹函数。
对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当 时，函数f为凸函数。
若将不等号“?” 和“?”分别变换成严格不等号“?”和“?”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。
因为凹函数的定义域为凸集，因此点
121222tx1?(1?t)x2也一定在函数的定义域内。
我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。 凹（凸）函数与凸集的关系
首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。
根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。
但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。
定理
f(x)是凹函数?A??(x，y)x?D,f(x)?y?是凸集； f(x)是凸函数?A??(x，y)x?D,f(x)?y?是凸集。
即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集?该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集?该函数为凸函数。2拟凹（拟凸）函数
不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定。但是通常，理论研究的工作之一是为保证获得结果，识别出我们需要对函数进行的最弱的可行设定。拟凹（拟凸）函数则是一个相对而言更弱的条件。
拟凹（拟凸）函数的定义如下：
对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当 时，函数f为拟凹函数。
对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当 时，函数f为拟凸函数。
若将不等号“?” 和“?”分别变换成严格不等号“?”和“?”，上述定义便适用于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义。
我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性。 设S(y01212)?xx?D,f(x)?y0 为函数f(x)在y0水平上的上等值集，
??I(y0)?xx?D,f(x)?y0为函数f(x)在y0水平上的下等值集。
定理
对于值域内的所有y值，S(y)都是凸集?f:D?R是拟凹函数 对于值域内的所有y值，I(y)都是凸集?f:D?R是拟凸函数
经济学中常假设拟凹的效用函数。根据定理，拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集。 3函数间关系
（1）f(x)是（严格）凹函数??f(x)是（严格）凸函数； （2）f(x)是（严格）拟凹函数??f(x)是（严格）拟凸函数；
（3）f(x)是（严格）凹函数?f(x)是（严格）拟凹函数（反之不成立）； （4）f(x)是（严格）凸函数?f(x)是（严格）拟凸函数（反之不成立）； （5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数
（6）凹（凸）函数相加仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系。
??（二）无约束的最优化问题
1一元函数的无约束极值
本讲义将讨论的函数范围限定在二次连续可微函数的范围里。
给定一个二次连续可微的一元函数,y?f(x)。易知，它在x?x0处取得极值的一阶必要条件为：f'(x)?0。而该极值究竟是极大值还是极小值得看f''(x)的符号：若f''(x)?0，则f(x0)为唯一的绝对极大值；若f''(x)?0，则f(x0)为唯一的绝对极小值。
利用上述极值的导数条件，我们可以推导出极值的微分条件，即：
dy?f'(x)dx?0?极值的一阶必要条件：对于任意非零dx，函数的一阶全微分为零； d2y?d[f'(x)dx]?f''(x)dx2?f''(x)(dx)2?对于任意非零dx，我们也可以通过计
算函数的二阶全微分来判断极值的情况。
综上，当函数为二次连续可微时，它取得极值的必要条件为： （1）函数在x取得绝对极大值
*?dy?f'(x*)dx?0?dy?f''(x)(dx)?0?dy?f'(x*)dx?0?dy?f''(x)(dx)?02*22*2，对于任意非零dx都成立；
（2）函数在x取得绝对极小值
*，对于任意非零dx都成立。
在满足必要条件的前提下，函数取得唯一的绝对极值时充分条件为
d2y?f''(x*)(dx)2?0，对于任意非零dx都成立?函数在x*取得唯一绝对极大值； d2y?f''(x*)(dx)2?0，对于任意非零dx都成立?函数在x*取得唯一绝对极小值。
只要将dx改为一阶微分向量dx，以上极值的微分条件能直接从单变量的情况推广至两个甚至多个变量的情况。 2多元函数的最优化问题 一阶条件
稳态值：R上的函数y?f(x1,x2,...,xn)的稳态值(x1,x2,...,xn)?x，在该点处，下面几个等式同时成立： 定理
如果在点(x1,x2,...,xn)?x，我们可能得到局部最大（小）值，即对于
***T(x1,x2,...,xn)?x*一个尽可能小的邻域内，所有点(x1,x2,...,xn)T?x都有
***T*n***T****?f(x1,x2,...,xn)?f(x1,x2,...,xn)，那么稳态条件必然满足。
二阶条件
直觉上，多元函数与一元函数一样，在稳态值取得最大值还是最小值与dy的符号有关。 我们先对dy进行微分，可得：
2?f11(x*)?*f(x)*21其中，H(x)???...?*??fn1(x)因此海塞矩阵为对称矩阵。
2f12(x*)...f22(x*).........fn2(x*)...f1n(x*)??f2n(x*)?为海塞矩阵。根据杨格定理：fij?fji，?...?fnn(x*)??在判断dy的符号之前，我们先正（负）定矩阵及其判定方法。 定义
若对于所有的x若对于所有的x若对于所有的x若对于所有的x?0，q(x)=xTAx>0始终成立，则称q(x)正定，A为正定矩阵； ?0，q(x)=xTAx?0始终成立，则称q(x)负定，A为负定矩阵； ?0，q(x)=xTAx?0始终成立，则称q(x)半正定，A为半正定矩阵； ?0，q(x)=xTAx?0始终成立，则称q(x)半负定，A为半负定矩阵。
2根据以上定义，若要判断dy的符号，我们只需判定与其对应的海塞矩阵的正（负）定。其实，通过判定海塞矩阵的正（负）定，我们也可以判定函数的凹（凸）性，即对于二次连续可微函数
y?f(x1,x2,...,xn)，
（1）其海塞矩阵H(x)负定?函数为严格凹函数?存在唯一绝对极大值； （2）其海塞矩阵H(x)正定?函数为严格凸函数?存在唯一绝对极小值。 接下来介绍正负定的判定方法。 定义
主子阵：对n?n矩阵A，由A 的 k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，称为A的k阶主子阵；由A 的 前k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，为k阶前主子阵。
主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式。 我们用
Dk表示H(x)的k阶顺序主子式（其中k?1,2,3,...,n），如:
D1(x)?f11(x)， D2(x)?…
f11(x)f21(x)f12(x),
f22(x)f11(x)Dk(x)?f21(x)...fn1(x)f12(x)...f22(x).........fn2(x)...f1n(x)f2n(x)。 ...fnn(x)定理
对于二次连续可微函数，y?f(x1,x2,...,xn) （1）
Dk?0(k?1,2,...,n)?海塞矩阵正定；
k（2）(?1)?Dk?0(k?1,2,...,n)?海塞矩阵负定。
??用H表示海塞矩阵H的指标（1,2,3，…，n）的任意排序，Dk为H的k阶顺序主子式，则
（3）Dk?0,k?(k?1,2,...,n)?海塞矩阵半正定；
(k?1,2,...,n)?海塞矩阵半负定。
（4）(?1)Dk?0,?从而，我们给出极值的充分条件：
已知二次连续可微函数y?f(x1,x2,...,xn)?f(x)***fi(x1,x2,...,xn)?0(i?1,2,...,n)
，
(1)其海塞矩阵H(x)负定?严格凹函数? f(x)为函数的唯一绝对极大值； (2)其海塞矩阵H(x)正定?严格凸函数? f(x)为函数的唯一绝对极小值。 3举例：二元函数的无约束极值问题
有一个二次连续可微函数y?f(x1,x2)，
**?f11可知其海塞矩阵为H???f21f12?，则 f22??D1?f11，D2?f11f21f12, f22f11f21f12f22,f22f122??D1??f11,f22，D2f21 f11根据之前的判定规则，
(1)D1?f11?0，D2?f11f22?f12?0?y?f(x1,x2)为严格凹函数； (2)D1?f11?0，D2?f11f22?f12?0?y?f(x1,x2)为严格凸函数；
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高级微观经济学数学准备
