dy【答案】
dx【解析】
x?0d2y?f(1,1),2dx'1x?0''?f11(1,1), x?0y?f(e,cosx)?y(0)?f(1,1)?dydx??f1'ex?f2'??sinx??x?0x?0x?f1'(1,1)?1?f2'(1,1)?0?f1'(1,1) d2y''2x''x''x''2'x'?2?f11e?f12e(?sinx)?f21e(?sinx)?f22sinx?f1e?f2cosxdxd2y''?2?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)dxx?0结论：
dydx2?f1'(1,1)x?0''?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)x?0dydx2
（16）（本题满分10分）求lim?1 4【解析】
k?k?ln?1??2n???n? k?1nn【答案】
1kk111lim?2ln(1?)??xln(1?x)dx??ln(1?x)dx2?(ln(1?x)?x20n??n202k?1nn10??10x2?1?11dx)? 1?x4
（17）（本题满分10分）
已知函数y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值 【答案】极大值为y(1)?1，极小值为y(?1)?0 【解析】 两边求导得：
3x2?3y2y'?3?3y'?0 （1）
令y'?0得x??1
对（1）式两边关于x求导得 6x?6y?y'??3y2y''?3y''?0 （2）
2?x?1?x??1将x??1代入原题给的等式中，得?， or??y?1?y?0将x?1,y?1代入（2）得y''(1)??1?0 将x??1,y?0代入（2）得y''(?1)?2?0
故x?1为极大值点，y(1)?1；x??1为极小值点，y(?1)?0
（18）（本题满分10分）
设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0,lim?x?0f(x)?0，证明： x(?)方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(?)方程f(x)f'(x)?(f'(x))2?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
（I）f(x)二阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0 x解：1）由于lim?f(x)?0，根据极限的保号性得
x?0xf(x)?0，即f(x)?0 ???0,?x?(0,?)有x进而?x0?(0,?)有f????0
又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在[0,1]上必连续
那么f(x)在[?,1]上连续，由f(?)?0,f(1)?0根据零点定理得： 至少存在一点??(?,1)，使f(?)?0，即得证
（II）由（1）可知f(0)?0，???(0,1),使f(?)?0，令F(x)?f(x)f'(x)，则f(0)?f(?)?0 由罗尔定理???(0,?),使f'(?)?0，则F(0)?F(?)?F(?)?0， 对F(x)在(0,?),(?,?)分别使用罗尔定理：
??1?(0,?),?2?(?,?)且?1,?2?(0,1),?1??2，使得F'(?1)?F'(?2)?0，即
F'(x)?f(x)f''(x)??f'(x)??0在(0,1)至少有两个不同实根。 得证。
2
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体S是圆锥面z?x2?y2被柱面z2?2x割下的有限部分，其上任一点的密度为
??9x2?y2?z2。记圆锥面与柱面的交线为C
(?)求C在xOy平面上的投影曲线的方程； (?)求S的M质量。
【答案】64 【解析】
22??z?x?y（1）由题设条件知，C的方程为??x2?y2?2x
2??z?2x?x2?y2?2x则C在xoy平面的方程为?
?z?0（2）
m????(x,y,z)dS???9x2?y2?z2dS?ssD:x2?y2?2x??92x2?y22dxdy??18??d??2?22cos?0r2dr?64
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵A???1,?2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2。
(?)证明 r(A)?2；
(?)若???1??2??3，求方程组Ax??的通解。
?1??1?????【答案】（I）略；（II）通解为k?2???1?,k?R
??1??1?????【解析】
（I）证明：由?3??1?2?2可得?1?2?2??3?0，即?1,?2,?3线性相关， 因此，A??1?2?3?0，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
??1且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为????2??????,?1??2?0 0??∴r(A)?r(?)?2
（II）由（1）r(A)?2，知3?r(A)?1，即Ax?0的基础解系只有1个解向量，
?1??1??1??????， 由?1?2?2??3?0可得??1,?2,?3??，则的基础解系为2?A2?0Ax?0?????2???1???1???1????????1??1??1??????， Ax??又???1??2??3，即??1,?2,?3??，则的一个特解为1?A1???????1??1??1??1????????1??1????综上，Ax??的通解为k?2????1?,k?R ??1??1?????
22?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3 （21）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x22在正交变换X?QY下的标准型?1y12??2y2，求a的值及一个正交矩阵Q
?1??3?1【答案】a?2;Q???3??1??3?120121??6?2?22,f x?Qy ?3y?6y 12?6?1??6?【解析】
?21?4?? f(x1,x2,x3)?XTAX，其中A??1?11????41a???2由于f(x1,x2,x3)?XTAX经正交变换后，得到的标准形为?1y12??2y2，
21?41?0?a?2， a故r(A)?2?|A|?0?1?1?41?21?4??，则 将a?2代入，满足r(A)?2，因此a?2符合题意，此时A??1?11????412?????2|?E?A|??14?14?1?0??1??3,?2?0,?3?6，
??1?1??2?1??； 由(?3E?A)x?0，可得A的属于特征值-3的特征向量为?1???1???1?????1?? 由(6E?A)x?0，可得A的属于特征值6的特征向量为?2??0???1????1?? 由(0E?A)x?0，可得A的属于特征值0的特征向量为?3??2???1?????3??，由于?,?,?彼此正交，故只需单位化即可：令P???1,?2,?3?，则P?1AP??6123???0????1?111TTT?1,?1,1?,?2???1,0,1?,?3??1,2,1?,， 326?1??3?1则Q???1?2?3????3??1??32f??3y12?6y2 x?Qy?120121??6???3?2??? T6?，QAQ???6??0???1??6?
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案分析及详解
