2017年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版
附答案分析及详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x?0处连续，则（ ） ax?b,x?0?12(C)ab?0(A)ab?【答案】A
?B?ab???D?ab?212
1x1?cosx2?1,Qf(x)在x?0处连续?1?b?ab?1.选A. 【解析】lim?limx?0?x?0?ax2a2ax2a
（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（ ）
(A)f(1)?f(?1)(C)f(1)?f(?1)?B?f(1)?f(?1)?D?f(1)?f(?1)
【答案】C
?f(x)?0?f(x)?0【解析】Qf(x)f(x)?0,??(1)或?(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，所
f'(x)?0f'(x)?0??'以选C。
（3）函数f(x,y,z)?x2y?z2在点(1,2,0)处沿向量u??1,2,2?的方向导数为（ ）
(A)12(B)6(C)4(D)2
【答案】D
【解析】
gradf?{2xy,x2,2z},?gradf(1,2,0)?{4,1,0}??fu122?gradf??{4,1,0}?{,,}?2. ?u|u|333选D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）
v(m/s)1020051015202530t(s)
(A)t0?10(B)15?t0?20(C)t0?25(D)t0?25
【答案】B
【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为?v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则
00t0t0?
t00v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
（5）设?是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵， 则（ ）
(A)E???T不可逆(C)E?2??不可逆T?B?E???T不可逆?D?E?2??T不可逆
【答案】A
【解析】选项A,由(E???T)??????0得(E???T)x?0有非零解，故E???T?0。即
E???T不可逆。选项B,由r(??T)??1得??T的特征值为n-1个0，1.故E???T的特征值为
n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
?200??210??100??,B??020?,C??020?,则（ ） 021（6）设矩阵A????????????001???001???002???B?A与C相似,B与C不相似
(C)A与C不相似,B与C相似?D?A与C不相似,B与C不相似(A)A与C相似,B与C相似
【答案】B
【解析】由(?E?A)?0可知A的特征值为2,2,1
?100?? 因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，且A~?020???002???由?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴A~C，且B不相似于C
（7）设A,B为随机概率，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，则P(AB)?P(AB)的充分必要条件是（ ）
(A)P(BA)?P(BA)(C)P(BA)?P(BA)(B)P(BA)?P(BA)(D)P(BA)?P(BA)
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
1n（8）设X1,X2???Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi，则下列结论
ni?1中不正确的是（ ）
(A)?(Xi??)2服从?2分布i?1nn?B?2(Xn?X1)2服从?2分布
(C)?(Xi?X)2服从?2分布i?1?D?n(X??)2服从?2分布
【答案】B 【解析】
X:N(?,1),Xi??:N(0,1)??(Xi??)2:?2(n),A正确i?1n?(n?1)S??(Xi?X)2:?2(n?1)，C正确，2i?1n
1?X~N(?,),n(X??):N(0,1),n(X??)2~?2(1),D正确,n(Xn?X1)2?~N(0,2),~?2(1),故B错误.2由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 已知函数f(x)?【答案】f(0)??6 【解析】
??112nn2nf(x)???(?x)?(?1)x??221?x1?(?x)n?0n?01，则f(3)(0)=__________ 21?xf'''(x)??(?1)n2n(2n?1)(2n?2)x2n?3?f'''(0)?0n?2?
(10) 微分方程y''?2y'?3y?0的通解为y?_________ 【答案】y?e?x(c1cos2x?c2sin2x)，（c1,c2为任意常数）
2【解析】齐次特征方程为??2??3?0??1,2??1?2i
故通解为e?x(c1cos2x?c2sin2x)
(11) 若曲线积分?xdx?aydy在区域D??(x,y)|x2?y2?1?内与路径无关，则 22Lx?y?1a?__________
【答案】a?1
【解析】
?P?2xy?Q2axy?P?Q?2,?,??a??1 由积分与路径无关知22222?y(x?y?1)?x(x?y?1)?y?x(12) 幂级数?(?1)n?1nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)?________
n?1?【答案】s(x)??1?1?x?2
''1???x?n?1n?1n?1n?(?1)nx?(?1)x??【解析】?????1?x?(1?x)2
?n?1?n?1???101????1,?2,?3为线性无关的3维列向量组，（13）设矩阵A??112?，则向量组A?1,A?2,A?3的
?011???秩为_________
【答案】2
【解析】由?1,?2,?3线性无关，可知矩阵?1,?2,?3可逆，故
r?A?1,A?2,A?3??r?A??1,?2,?3???r?A?再由r?A??2得r?A?1,A?2,A?3??2
（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(数，则EX?_________
【答案】2
【解析】F?(x)?0.5?(x)?
x?4其中?(x)为标准正态分布函)，2??0.5x?40.5??x?4?()，故EX?0.5?x?(x)dx?x?()dx ?????2222????????x?4x?4???x?(x)dx?EX?0。令2?t，则???x?(2)dx=2????4?2t??(t)dt?8?1?4???t?(t)dt?8
因此E(X)?2.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dxxd2y2
x?0，dx
x?0
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