向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数?与向量a的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：?a，它的长度和方向规定如下： ⑴?a??a, ⑵当??0时, ?a的方向与a的方向相同；当
⑴线段AB中点坐标为
?x1?x22y2， ,y1?2?⑵△ABC的重心坐标为
?x1?x2?x33,y1?y32?y3.
?§2.4.1、平面向量数量积 1、 a?b?abcos?.
2、 a在b方向上的投影为：acos?. 3、 a?a. 4、 a?22a.
25、 a?b?a?b?0.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则：
⑴a?b?x1x2?y1y2 ⑵a???0时, ?a的方向与a的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量aa?0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a.
平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使a??1e1??2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表 1、 a?xi?yj??x,y?. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则： ⑴a?b??x1?x2,y1?y2?，
⑵a?b??x1?x2,y1?y2?， ⑶?a???x1,?y1?， ⑷a//b?x1y2?x2y1.
2、A?x1,y1?,B?x2,y2?则： AB??x2?x1,y2?y1?. △ABC中：
1、设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则
??x12?y12
rrrr⑶a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 rrrr⑷a//b?a??b?x1y2?x2y1?0
2、 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则：
AB??x2?x1?2??y2?y1?2x1x2?y1y2.
3、 两向量的夹角公式
rra?b cos??rr?ab
x?y?x2?y2212122
必修5数学知识点 第一章：解三角形 1、正弦定理： abc???2R. sinAsinBsinC（其中R为?ABC外接圆的半径） ?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;
- 10 -
?sinA?abc,sinB?,sinC?; 2R2R2R?a:b:c?sinA:sinB:sinC.
一项的差等于同一个常数，即an－an?1=d ，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列
?用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。
2、余弦定理： ?A?a?b 2?a2?b2?c2?2bccosA,?222?b?a?c?2accosB, ?c2?a2?b2?2abcosC.?⑶通项公式：an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d 或an?pn?q(p、q是常数）. ⑷前n项和公式：
?b2?c2?a2,?cosA?2bc?a2?c2?b2?, ?cosB?2ac??a2?b2?c2.?cosC?2ab?用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式： Sn?na1?n?n?1?n?a1?an?d? 22⑸常用性质：
①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则
am?an?ap?aq；
②下标为等差数列的项?ak,ak?m,ak?2m,??，仍组成等差数列；
③数列??an?b?（?,b为常数）仍为等差数列； ④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、，…也成等差数列。
⑤单调性：?an?的公差为d，则：
ⅰ）d?0??an?为递增数列； ⅱ）d?0??an?为递减数列； ⅲ）d?0??an?为常数列；
⑥数列{an}为等差数列?an?pn?q（p,q是常数） ⑦若等差数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、
*S?ABC111?absinC?bcsinA?acsinB 2224、三角形内角和定理： 在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
C?A?B?2C?2??2(A?B). ???222
5、一个常用结论： 在?ABC中，a?b?sinA?sinB?A?B; 若sin2A?sin2B,则A?B或A?B?
第二章：数列
1、数列中an与Sn之间的关系： ?2在三角函数中，sinA?sinB?A?B不成立。
.特别注意，
S3k?S2k… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
,(n?1)?S1an??注意通项能否合并。
?Sn?Sn?1,(n?2).2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
G、b成等比数列?G?ab,⑵等比中项：若三数a、- 11 -
2
（ab同号）。反之不一定成立。
n?1n?m⑶通项公式：an?a1q?amq
,(n?1)?S1构造两式作差求解。 an??S?S,(n?2)n?1?n
类型Ⅲ 累加法：
形如an?1?an?f(n)型的递推数列（其中f(n)是关
⑷前n项和公式：Sn?⑸常用性质
a1?1?qn?1?qa?aq?1n
1?q①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则
am?an?ap?aq；
②ak,ak?m,ak?2m,?为等比数列，公比为q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列??an?（?为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列?an?；则?lgan?是公差为
k?an?an?1?f(n?1)?a?a?f(n?2)?n?1n?2于n的函数）可构造： ?
...???a2?a1?f(1)类型Ⅳ 累乘法： 形如an?1?an?f(n)??an?1??f(n)?型的递推数列（其?an?lgq的等差数列；
④若?an?是等比数列，则?can?， ?an2，???1? ?，a?n?21rq，q，，qr. 是等比数列，公比依次是a(r?Z)?n?q?an?a?f(n?1)?n?1?an?1?f(n?2)?中f(n)是关于n的函数）可构造：?an?2
?...??a2?a?f(1)?1类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如an?1?pan?q（其中p,q均为常数且p?0）型的递推式：
（1）若p?1时，数列{an}为等差数列; （2）若q?0时，数列{an}为等比数列;
类型Ⅶ 倒数变换法： 形如an?1?an?pan?1an（p为常数且p?0）的递推式：两边同除于an?1an，转化为
⑤单调性：
a1?0,q?1或a1?0,0?q?1??an?为递增数列；
a1?0,0?q?1或a1?0,q?1??an?为递减数列； q?1??an?为常数列； q?0??an?为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、
S3k?S2k… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n项和Sn与an11??p形式，anan?1化归为an?1?pan?q型求出1的表达式，再求an；
an
的关系，求数列?an?的通项an可用公式 5、非等差、等比数列前n项和公式的求法
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⑴错位相减法 ①若数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，则数列?an?bn?的求和就要采用此法.
②将数列?an?bn?的每一项分别乘以?bn?的公比，然后在错位相减，进而可得到数列?an?bn?的前n项和.
⑷倒序相加法 如果一个数列?an?，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1?an?a2?an?1?... ⑸记住常见数列的前n项和： ①1?2?3?...?n?此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项an?n(n?1); 22②1?3?5?...?(2n?1)?n;
c
(an?b1)(an?b2)③1?2?3?...?n?22221n(n?1)(2n?1). 6(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，
采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设an?第三章：不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a?b?b?a ②（传递性）a?b,b?c?a?c
③（可加性）a?b?a?c?b?c
（同向可加性）a?b,c?d?a?c?b?d （异向可减性）a?b,c?d?a?c?b?d ④（可积性）a?b,c?0?ac?bc
a?b,c?0?ac?bc ⑤（同向正数可乘性）a?b?0,c?d?0?ac?bd
（异向正数可除性）a?b?0,0?c?d?a?b
cd?an?b1??an?b2，通分整理后与原式相
比较，根据对应项系数相等得??c，从而可得
b2?b1cc11=(?).
(an?b1)(an?b2)(b2?b1)an?b1an?b2
常见的拆项公式有： ①
⑥（平方法则）a?b?0?an?bn(n?N,且n?1) ⑦（开方法则）a?b?0?na?nb(n?N,且n?1) ⑧（倒数法则）a?b?0?
2、几个重要不等式 ①a?b?2ab?a，b?R?,（当且仅当a?b时取
22111??；
n(n?1)nn?11111?;a?b?0?? abab②
1111?(?);
(2n?1)(2n?1)22n?12n?111?(a?b); a?ba?b③a2?b2. \?\号）. 变形公式：ab?2②（基本不等式）
⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
a?b?ab ?a，b?R??,（当2且仅当a?b时取到等号）.
?a?b?变形公式： a?b?2ab ab???.
2??2- 13 -
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
⑥若ab?0,则10、对数不等式的解法 ⑴当a?1时,
ba??2（当仅当a=b时取等号） abba若ab?0,则???2（当仅当a=b时取等号）
ab22?a?b?a?bab??; ??2?2?2?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0
?f(x)?g(x)?⑵当0?a?1时,
3、几个著名不等式 ?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)?规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： a2?b2?(a?b). 225、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)
2?a(a?0)⑴定义法：a??.
?a(a?0)?⑵平方法：f(x)?g(x)?f2(x)?g2(x).
(a?0,??b2?4ac?0)解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
⑶同解变形法，其同解定理有： ①x?a??a?x?a(a?0); ②x?a?x?a或x??a(a?0);
③f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0) ④f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0) 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法 解形如ax?bx?c?0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a与0的大小； ⑵讨论?与0的大小； ⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题 ⑴不等式ax?bx?c?0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当a?0时 ?b?0,c?0;
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22f(x)?0?f(x)?g(x)?0g(x)?f(x)?g(x)?0f(x)?0??g(x)?g(x)?0 （时同理） “?或?”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当a?1时,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x)
f(x)⑵当0?a?1时, a?ag(x)?f(x)?g(x)
规律：根据指数函数的性质转化.
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