湖南省岳阳县第一中学高三数学组 yzhgsb②126.com
2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生
数学试题
分值: 分 时量: 分钟
一、选择题,
??????????1.已知向量a,b为非零向量,(a?2b)?a,(b?2a)?b,则a,b夹角为( ) A.
?????? B. C. D. 6336tan(?????)?( )
tan(?????)2.已知sin2(??r)?nsin2?,则
A.
n?1nnn?1 B. C . D. n?1n?1n?1n?13.在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,F是棱A1B1上的点,且A1F:FB1?1:3,则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为( ) A.
15 B. 31555 C. D.
355z2?2z?24.i为虚数单位,设复数z满足|z|?1,则的最大值为( )
z?1?i A.
2?1 B. 2?2 C. 2?1 D. 2?2 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,?ABC三个顶点都在抛物线上,且?ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为4x?y?20?0,则抛物线方程为( ) A.. y2?16x B. y2?8x C. y2??16x D. y2??8x
6.在三棱柱ABC?A1B1C1中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E为CC1的中点,则点C1到平面AB1E的距离为( ) A.
3 B. 2 C.
32 D. 22|x|?kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为( ) x?411 A. (0,1) B. (,1) C.(,??) D. (1,??)
448.如图,?ABC内接于?O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交?O于G、F,交?O7.若关于x的方程
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湖南省岳阳县第一中学高三数学组 yzhgsb②126.com 在A点处的切线于P,若PE?3,ED?2,EF?3,则PA的长为( ) A. 5 B. 6 C.7 D.22 l P A G E O D B F 第8题图 C 9.数列{ak}共有11项,a1?0,a11?4,且|ak?1?ak|?1,k?1,2,?,10 满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 10.设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
2?的旋转,?表示坐标平面关于y轴的镜面反射.7用??表示变换的复合,先做?,再做?.用?k表示连续k次?的变换,则???2??3??4是( ) A. ?4 B. ?5 C.?2? D.??2
二、解答题
11.设数列{an}满足a1?a,a2?b,2an?2?an?1?an. (1)设bn?an?1?an,证明:若a?b,则{bn}是等比数列; (2)若lim(a1?a2???an)?4,求a,b的值;
n??
12.在?ABC中,AB?2AC,AD是角A的平分线,且AD?kAC. (1)求k的取值范围;
(2)若S?ABC?1,问k为何值时,BC最短?
13.已知椭圆的两个焦点为F1(?1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y?x?3相切. (1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.
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14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn. (1)求EX1;
(2)设P(Xn?a?k)?pk,求P(Xn?1?a?k),k?0,1,?,b; (3)证明:EXn?1?(1?
15.设f(x)?xlnx. (1)求f?(x);
(2)设0?a?b,求常数c,使得
1)EXn?1. a?b1b|lnx?c|dx取得最小值;
b?a?a(3)记(2)中的最小值为Ma,b,证明Ma,b?ln2.
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2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案
