§14.2 狭义相对论的基本原理
一、狭义相对论的两个基本假设
爱因斯坦在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,提出了狭义相对论的如下两个基本假设
1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式,即一切惯性系都是等价的.它是力学相对性原理的推广和发展.
2）光速不变原理：在一切惯性系中,光在真空中沿各个方向传播的速率都等于同一个恒量c,且与光源的运动状态无关.
狭义相对论的这两个基本假设虽然非常简单,但却与人们已经习以为常的经典时空观及经典力学体系不相容.确认两个基本假设,就必须彻底摒弃绝对时空观念,修改伽利略坐标变换关系和牛顿力学定律等,使之符合狭义相对论两个基本原理的要求.另一方面应注意到,伽利略变换关系和牛顿力学定律是在长期的实践中证明是正确的,因此它们应该是新的坐标变换式和新的力学定律在一定条件下的近似.即狭义相对论应包含牛顿力学理论在内,牛顿的经典力学理论是狭义相对论在一定条件（低速运动情况）下的近似.
尽管狭义相对论的某些结论可能会使初学者感到难于理解,但是一百多年来大量实验事实表明,依据上述两个基本假设建立起来的狭义相对论,确实比经典理论更真实、更全面、更深刻地反映了客观世界的规律性.
二、洛伦兹变换
为简单起见,如图14.1所示,设惯性系S'（O' x'y' z' ）以速度υ相对于惯性系S（O xy z）沿x（x'） 轴正向作匀速直线运动,x'轴与 x轴重合,y' 和 z' 轴分别与 y 和 z 轴平行,S系原点O与S '系原点O '重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点.设P为观察的某一事件,在S系观察者看来,它是在t 时刻发生在（x,y, z）处的,而在S'系观察者看来,它却在t ' 时刻发生在（x',y', z'）处.下面我们就来推导这同一事件在这两惯性系之间的时空坐标变换关系.
在y (y')方向和z(z')方向上,S系和S '系没有相对
运动,则有：y' =y，z'=z,下面仅考察(x、t)和(x'、t')之间的变换.由于时间和空间的均匀性,变换应是线性的,在考虑 t=t'=0 时两个坐标系的原点重合,则x 和(x' +υ
zoyy'?P(x,y,z)(x',y',z')o'x(x')z'图14.1 洛伦兹坐标变换
t' )只能相差一个常数因子,即
x??(x'??t') (14.1)
由相对性原理知,所有惯性系都是等价的,对S'系来说,S系是以速度υ沿x' 的负方向运动,因此,x' 和(x -υt)也只能相差一个常数因子,且应该是相同的常数,即有 x'??(x??t) (14.2)
为确定常数?,考虑在两惯性系原点重合时(t=t'=0),在共同的原点处有一点光源发出一光脉冲,在S系和S'系都观察到光脉冲以速率c 向各个方向传播.所以有 x?ct,x'?ct' (14.3) 将式(14.3)代入式(14.1)和式(14.2)并消去 t 和 t' 后得 ??11??/c22 (14.5)
将上式中的?代入式(14.2)得 x'?x??t1??/c22 (14.6)
另由式(14.1)和(14.2)求出t' 并代入?的值得
1??21??x/c2)? t'??t?(
22??1??/c于是得到如下的坐标变换关系
x??t?x'??1??2/c2??x'?x,t'?t,?????y'?y???????? ?逆变换?z'?z?2?t'?t??x/c?1??2/c2?x'??t'?x??1??2/c2??y?y'? (14.7) ??z?z'?2?t?t'??x'/c?1??2/c2?这种新的坐标变换关系称为洛伦兹(H.A.Lorentz,1853—1928)变换.显然,
讨论：1）从洛伦兹变换中可以看出,不仅x' 是 x、t 的函数,而且 t' 也是x、t 的函数,并且还都与两个惯性系之间的相对运动速度有关,这样洛伦兹变换就集中的反映了相对论关于时间、空间和物体运动三者紧密联系的新观念.这是与牛顿理论的时间、空间与物体运动无关的绝对时空观截然不同的.
2）在???c的情况下,洛伦兹变换就过渡到伽利略变换.
3）洛伦兹变换中,x'和t'都必须是实数,所以速率υ必须满足??c.于是我们就得到了一个十分重要的结论：一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速c ,
或者说真空中的光速c 是物体运动的极限速度.
4)时钟和尺子。
例题14.1 北京与上海直线相距1000km,在某一时刻从两地同时各开出一列火车.现有一艘飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过,速率恒为??9km/s.求宇航员测得的两列火车开出时刻的间隔,哪一列先开出？
解：取地面为S系,坐标原点在北京,以北京到上海的方向为x轴正方向,北京和上海的位置坐标分别为x1和x2.取飞船为S '系. 现已知在S系,两地距离为 ?x?x2?x1?106m 而两列火车开出时刻的间隔是 ?t?t2?t1?0 由洛伦兹变换可得
9?1036???10(t2?t1)?2(x2?x1)(3?108)2c t'2?t'1????10?7s
1??2/c21?(9?103)2/(3?108)2这一负的结果表示：宇航员发现从上海发车的时刻比从北京发车的时刻早
10?7s .
三、洛伦兹速度变换关系
洛伦兹速度变换关系讨论的是同一运动质点在S系和S'系中速度的变换关系.在S系的观察者测得该物体速度的三个分量为 ux?dxdydz,uy?,uz? (14.9) dtdtdt在S'系的观察者测得该物体速度的三个分量为 u'x?dx'dy'dz',u'y?,u'z? (14.10) dt'dt'dt'为了求得上列不同惯性系速度各分量之间的变化关系,我们对洛伦兹变换式中各式求微分,得
dx??dt?dx'??221??/c??dy'?dy? ? (14.11)
?dz'?dz?2?dt'?dt??dx/c?1??2/c2?由上式中的第一、第二和第三各式分别除以第四式便可得到从S惯性系到S'惯性系的速度变换公式为
ux???u'??x1??u/c2x??uy1??2/c2? ?u'y? (14.12) 21??ux/c??uz1??2/c2??u'x?1??u/c2x?这便是洛伦兹速度变换关系.据相对性原理,在式(14.12)中将带撇的量与不带撇的量互换,并将υ换成-υ,就得到速度变换的逆变换
u'x???u??x1??u'/c2x???带撇量与不带撇量对调????????u'y1??2/c2 ?uy? (14.13) 21??u'/c????x??u'z1??2/c2??ux?1??u'/c2x?例题14.2 ?o介子在高速运动中衰变,衰变时辐射出光子.如果?o介子的运动速度为0.99975c,求它向运动的正前方辐射的光子的速度.
解：设实验室参考系为S系,随同?o介子一起运动的惯性系为S'系,取?o介子和光子运动的方向为x轴,由题意,υ=0.99975c, u 'x=c .据相对论速度变换的逆变换公式得
ux?u'x??c????c
1??u'x/c21??/c可见光子的速度仍为c,这已为实验所证实,洛伦兹速度变换关系能够保证光速不变性.若按照伽利略变换,光子相对于实验室参考系的速度是1.99975c,这显然是错误的.
作业(P187)：14.6,14.9
大学物理讲义(第14章狭义相对论基础)第二节
