因此,PM垂直于y轴.
??y1?y2?2y0, (Ⅱ)由(Ⅰ)可知?2??y1y2?8x0?y0,所以|PM|?123222(y1?y2)?x0?y0?3x0,|y1?y2|?22(y0?4x0). 8431322?|PM|?|y1?y2|?(y0?4x0)2. 24因此,△PAB的面积S△PAB2y022因为x??1(x0?0),所以y0?4x0??4x0?4x0?4?[4,5].
420因此,△PAB面积的取值范围是[62,1510]. 422.本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应
用能力。满分15分。
(Ⅰ)函数f(x)的导函数f?(x)?12x?1, x由f?(x1)?f?(x2)得12x11x1??111??, x12x2x2?1. 2因为x1?x2,所以1x2由基本不等式得1x1x2?x1?x2?24x1x2. 2因为x1?x2,所以x1x2?256.
由题意得f(x1)?f(x2)?x1?lnx1?x2?lnx2?设g(x)?则g?(x)?所以
x g?(x) g(x) 1x?lnx, 21(x?4), 4x1x1x2?ln(x1x2). 2(0,16) ? 16 0 2?4ln2 (16,+∞) + 所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,
故g(x1x2)?g(256)?8?8ln2, 即f(x1)?f(x2)?8?8ln2. (Ⅱ)令m=e?(a?k),n=(a?12)?1,则 kf(m)–km–a>|a|+k–k–a≥0, f(n)–kn–a 所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点. 由f(x)=kx+a得k?设h(x)=x?lnx?a. xx?lnx?a, xlnx?x?1?a?g(x)?1?a, 2?x2x2则h′(x)= 其中g(x)=x?lnx. 2由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3–4ln2, 故–g(x)–1+a≤–g(16)–1+a=–3+4ln2+a≤0, 所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)–kx–a=0至多1个实根. 综上,当a≤3–4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.