第六讲 对数及对数函数
【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．对数的概念 (1)对数的定义
①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. (2)几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaNNb 特点 底数为a(a>0且a≠1) 底数为10 底数为e 记法 logaN lg N ln N ＝N(a>0且a≠1，N>0)；
②logaa＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式
logaN①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；
logab1
②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．
logba(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R)； ④logamM＝logaM.
nnMNnm
二．对数函数的定义
1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质
a>1 0 在(0，＋∞)上是单调减函数 指数函数y＝a(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． x【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 对数的运算 【例1】（1）lg2·lg 250＋lg5·lg 40＝ . （2）若3=5=225，则+= 。 ???? ab2 2 11 （4）若log??2=??，log??5=??，则??3??+??=( 。 【答案】（1）1 （2）2 （3）40 1 ?1 000?＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) 222【解析】（1）lg2·lg 250＋lg5·lg 40＝lg2·?lg 4??? ＝lg2·(3－2lg 2)＋(lg2－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1. （2）∵3??=5??=225∴??=log3225, ??=log5225则+=log2253+log2255=log22515= ?? ?? 2 1 1 1 2 2 （3）∵log??2=??，log??5=??，∴????=2，????=5 ∴??3??+??=??3???????=23?5=40 【套路总结】 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【举一反三】 1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为 ． 【答案】 a－2 【解析】 log38－2log36＝log32－2(log32＋log33) ＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2. 21xy2．若3＝4＝36，则＋＝ . 3 xy【答案】 1 【解析】 3＝4＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2， 22121 ∴＝log63，＝log64，即＝log62，故＋＝log63＋log62＝1. xyxyyxy11ab3．设2＝5＝m，且＋＝2，则m＝ . ab【答案】 10 1111 【解析】 由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ablog2mlog5m解得m＝10. ?1－log63?＋log62·log618 4．计算：＝ . log64【答案】 1 62 1－2log63＋?log63?＋log6·log6?6×3?22 31－2log63＋?log63?＋1－?log63? 【解析】 原式＝＝ log64log64＝ 2?1－log63?log66－log63log62 ＝＝＝1. 2log62log62log62 2 111xyz5.已知均不为1的正数a，b，c满足a＝b＝c，且＋＋＝0，求abc的值． xyz【答案】1 【解析】 令a＝b＝c＝k.由已知k>0且k≠1， 1lg a1lg b1lg c111 于是xlg a＝ylg b＝zlg c＝lg k，故＝，＝，＝.因为＋＋＝0， xlg kylg kzlg kxyzlg a＋lg b＋lg clg?abc? 所以＝0，即＝0.故lg(abc)＝0，得abc＝1. lg klg k6.设logaC，logbC是方程x－3x＋1＝0的两根，求logaC的值． 2 xyzb【答案】± 5. 5 ?logaC＋logbC＝3，? 【解析】由题意，得? ??logaC·logbC＝1， 11 ＋??logalogb＝3， 即?1??loga·logb＝1， CCCC2 ?logCa＋logCb＝3，? 于是有? ??logCa·logCb＝1， (logCa－logCb)＝(logCa＋logCb)－4logCa·logCb＝3－4＝5，故logCa－logCb＝±5. 22 a?－115?于是logaC＝?logC?＝＝±. b?logCa－logCb5? b 35x－1 7.方程x－＝3的实数解为 ． 36【答案】 x＝log32 【解析】 原方程可化为2(3)＋5·3－18＝0，即(3－2)(2·3＋9)＝0,3＝2(2·3＝－9舍去)，得x＝log32. 考向二 对数函数的判断 【例2】函数??(??)=(??2+???5)log???? 为对数函数，则??()等于( ) 81 x2 xxxxxA．3 B．?3 C．?log36 D．?log38 【答案】B 【解析】因为函数??(??) 为对数函数， 所以函数??(??)系数为1，即??2+???5=1，即??=2或?3， 因为对数函数底数大于0，所以??=2，??(??)=log2??，所以??(8)=?3。 【套路总结】 对数函数的判断：对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1。 【举一反三】 1 1．下列函数是对数函数的是( ) A．??=log3(??+1) B．y=log??(2??) (a>0,a≠1) C．??=ln?? D．y=log????2 (a>0,a≠1) 【答案】C 【解析】由对数函数定义可以，本题选C。 2．下列函数，是对数函数的是 A．y=lg10x B．y=log3x2 C．y=lnx D．y=log【答案】C 【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10=x， y=log3??2=2log3|??|、y=log1(???1)都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C． 3 x 13（x–1） 3．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为 A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4） 【答案】B ??+1>0 【解析】由函数的解析式可得{???3>0 ，解得3 ???3≠1 考向三 对数的单调性 【例3】（1）函数??(??)=lg(6?????2)的单调递减区间为 。 （2）若函数f(x)＝log2(x－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】（1）[3,6)（2）[－4,4) 【解析】（1）由题可得6?????2>0，即0 2 ∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数??(??)=lg(6?????2)的单调递减区间为[3,6) （2）由题意得x－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)． 2 2 2 a2 【套路总结】 复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减” 【举一反三】
2021新高考一轮复习专题2.6 对数及对数函数(解析版)
