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第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题.doc

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第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题

一、雨哗哗地不停地下着。如在雨地里放一个如图1那样的长方体的容器,雨水将它注满要用1小时。

有下列A—E不同的容器(图2),雨水注满这些容器各需多长时间?

二、将一正方形的纸对折2次后,还是正方形(见图1)。用同样的方法,可把某形状的纸对折3次后,成为图2那样的三角形。已知可把4种形状的纸对折3次后,折成那样的三角形,请画出这4种形状。

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三、有6个1克重的球,1个2克重的球,1个3克重的球,共有8个球。把这8个球从①到⑧编上号,放到天平上称,就成为图中所示状态。 问:(1)2克重的球是几号球? (2)3克重的球是几号球?

四、有193个人坐成一横排。

首先,正中间的一个人站起来,然后,按下述方法大家都或坐或站。 ①邻座的人站起来,1秒钟后,自己也站起来。 ②站起1秒钟后坐下。

③如果左右邻座的人同时是站着的话,即使过了1秒钟,自己仍然坐着。

问:(1)最初的那个人站起8秒钟后,有几个人站着?

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(2)96秒钟后,有几个人站着?

五、有一个如图那样的方块网格,每1个小方块里有1个人,在这些人中间,有人戴着帽子,有人没戴。每一个人都只能看见自己前方,后方和斜方的人的头,如图1所示,A方块里的人能看见8个人的头,B方块里的人能看见5个人的头,C方块里的人能看见3个人的头,自己看不见自己的头。在图2的方格中,写着不同方块里的人能看见的帽子的数量,那么,请在图2中找出有戴帽子的人的方块,并把它涂成黑色。

六、某俱乐部有11个成员,他们的名字分别是A~K。这些人分为两派,一派人总说实话,另一派人总说谎话。某日,老师问:“11个人里面,总说谎话的有几个人?”那天,J和K休息,余下的9个人这样回答: A说:“有10个人。” B说:“有7个人。” C说:“有11个人。”

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D说:“有3个人。” E说:“有6个人。” F说:“有10个人。” G说:“有5个人。” H说:“有6个人。” I说:“有4个人。”

那么,这个俱乐部的11个成员中,总说谎话的有几个人? 七、有50张卡片,每一张都分别写着从1到50的数字(见图)。卡片的两面一面是红色,一面是蓝色,两面都写着相同的数字。有一个班正好有50名学生,老师把这50张卡片都将蓝色朝上地摆在桌上,对同学们说:“请你们按学号的顺序逐个到前面来翻卡片,规则是:只要卡片上的数字是你自己学号的倍数,你就把它们都翻过来,蓝的就翻成红的,红的就翻成蓝的。”

那么,到最后,学号是50的学生按老师的要求翻完以后,红色朝上的卡片有多少张?

八 、如图所示,把边长为6cm的等边三角形剪成4部分,从三角形顶点往下1cm处,呈30°角下剪刀,使中间部分形成一个小的等边三角形。 问:所有斜线部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍?

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九、有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见九题图)。

如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体,最多可以穿透几个小立方体?

附:第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题解析

一、解题中“雨哗哗地不停地下着”这一条件,也可以理解为雨均匀地下。(这与日常生活中的降雨略有不同,生活中降雨可能会时大时小,并不均匀。)雨水从敞口部分垂直落入到容器内,我们就可以把“敞开面”(即图中所示的阴影面)叫做“接雨面”。图中所示的长方体容器,“接雨面”与底面大小相同,雨水将它下满需要1小时,也就是说1小时后该容器内雨水的深度是10cm。如果容器的高度不止10cm,而是无限的,那么2小时后容器内雨水的深度将会是2cm,以后每过1小时雨水的深度就会增加10cm;如果在长方体容器中垂直放入一个很薄的挡板(其厚度忽略不计),将大容器分成两个小容器(如图所示)。小容器的“接雨面”变小了,但每个小容器的“接雨面”与底面大小仍然相同。那么1小 时后,每个小容器内雨水的深度还是10cm。(因为忽略了挡板的厚度,它不占原

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来长方体容器的容积。)通过上述分析与假设,我们可得出如下结论:只要容器的“接雨面”与底面大小相同,1小时后容器内雨水的深度就是10cm。

根据结论,观察图2所示的五种容器。其中A、B、E三种容器的“接雨面”与底面大小相同。

A容器高10cm,雨水下满该容器需要1小时;

B容器高30cm,雨水下满该容器需要3小时;E容器高20cm,雨水下满该容器需要2小时。

剩下C、D两种容器,它们的“接雨面”与底面大小不同,可先将其转化为“接雨面”与底面大小相同的容器(如图所示)。此时,C容器的高变为30cm,雨水下满需3小时;D容器的高变为15cm,雨水下满需1.5小时。

二、解(见下图)

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三、解 由图1可知:

①+②+③<④+⑤+⑥+⑦(一式) 由图2可知:

②+⑥+⑧>①+③+④+⑤(二式) 由图3可知:

①+③+⑧<②+④+⑤(三式)

观察三式可得出如下结论:①、③、⑧中不可能有克重的球,②、④、⑤中必有重量超过1克的球。

观察二式可得结论:④、⑤两球重量均为1克,(因为如果其中有重2克的,则②、⑥、⑧重量之和最多与①、③、④、⑤重量之和相等,图2将不成立,与已知矛盾。)

观察一式可得结论:①、②、③中没有重3克的球。(否则图1所示状态将不成立)

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综合上述3条结论可知:②号球重2克,①、③、⑧、④、⑤的重量均为1克。

再次观察二式可知:⑥号球重3克。 四、解(找规律)(用△表示站,○表示坐)

上表第1个方框内的2表示第1秒后有2人站着;第2个方框内有两个数,上面2表示第2秒后有2人站着,下面的4表示第3秒后有4人站着。三角内的两个数为所求,即:第8秒后有2人站着,第96秒后有4人站着。

五、解 答案如下图所示。

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分析 ①站在第一行第五列的人能看见1顶帽子,说明他周围的3人有2人没戴帽子。

②站在第二行第四列的人能看见7顶帽子,说明他周围的8人中只有1人没戴帽子,综合结论①可知他本人没有戴帽子。

③站在第二行第五列的人能看到4顶帽子,且他周围的5人中已有1人没戴帽子,说明其余4人均戴帽子,根据结论①可知他本人没戴帽子。 ④利用上下对称原理可以分析出:站在第四行、第五行后三列的6个人中,只有第四行第四列、第五列两人没戴帽子,其他人均戴帽子。 ⑤站在第四行第二列的人能看到7顶帽子,说明他周围的8人中只有1人没戴帽子。

⑥站在第三行第1列的人能看见1顶帽子,说明他周围的5人中只有1人戴帽子。综合结论⑤可知:这1人不可能是第二行第一二列的人,也不可能是第四行第二列的人。所以只能是站在第三行第二列的人或第四行第一列的人。

⑦站在第五行第一列的人能看到2顶帽子,说明结论⑥所说戴帽子的人站在第四行第一列。

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⑧站在第二行第二列的人能看到6顶帽子,说明站在第一行第一、二列的2人都戴帽子。

综合上述分析,可以看到“思考的顺序”是解答本题的关键。 六、解因为9个人回答出了7种不同的人数,而且回答相同的最多是两个人。所以说谎话的不少于7人。若说谎话的有7人,则除B外,其它回答问题的8人均说了谎话,与假设出现矛盾;若说谎话的有8人,则回答问题的9人均说了谎话,出现矛盾;若说谎话的有10人,则只能1人说实话,而A和F都说了实话,出现了矛盾;若说谎话的有11人,则没有说实话的,而C说了实话,出现矛盾;显然说谎话的有9人,回答问题的9人均说谎话,休息的两人说实话。

七、解 每张卡片,所写数字有几个约数就被翻过几次。被翻了奇数次的卡片红色面朝上,而只有完全平方数才能有奇数个约数,所以本题也就是求写有完全平方数的卡片有几张,所以红色朝上的卡片共有7张。 八、解 将大三角形分成边长1cm的小等边三角形即可求解。大三角形中包含36个小等边三角形,空白三角形包含3个小等边三角形。所以

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九、解 首先从简单的想起,研究铁丝穿透1个小立方体时,应从哪面穿入,哪面穿出。然后考虑铁丝扎进8个小立方体搭成的较大立方体,最多可以穿透几个小立方体。最后再考虑扎进27个小立方体搭成的大立方体时,最多可以穿透几个小立方体。

(1)铁丝穿透1个小立方体可有三种不同情况。(如图1所示)其中A、B两种是穿过相对两面,A种平行于棱的方向穿过,B种斜着穿过;C种则是穿过相邻两面。再进一步分析,若增加7个小立方体,搭成较大立方体时,这个小立方体相对两面中只能有一个面与其它小立方体相邻,也就是说只能考虑铁丝在一个方向上继续穿透其它小立方体。而这个小立方体相邻的两面可以分别与其它小立方体相邻,铁丝可以沿两个方向继续穿透其它小立方体。因此,C种情况是我们解答本题需要深入考虑的。(为了便于分析,将这个小立方体编为①号。)

(2)考虑铁丝扎进较大立方体时最多可以穿透几个小立方体。如图2所示,铁丝沿斜上方向可继续穿透②号小立方体,沿斜下方向可继续穿透③号、④号小立方体。因此,共可穿透4个小立方体。

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(3)考虑铁丝扎进27个小立方体搭成的大立方体时,最多可以穿透几个小立方体。如图3所示,铁丝沿斜上方向可继续穿透⑤号立方体,沿斜下方向可以继续穿透⑥号、⑦号小立方体。因此,最多可以穿透7个小立方体。

[说明与探讨] 本题意在考察空间观念和画图能力。若直接考虑,难度比较大。所以应采取从简单处人手,逐步深入分析的方法来解答。通过上述分析,不难发现这样一条规律(如下表所示):

以前,我们研究过与此题分析方法基本相同的平面图形问题。如:大正方形是由25个同样大小的小正方形拼接而成的。在大正方形上画一条直线,这条直线最多可以穿过几个小正方形?

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学海无涯第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题一、雨哗哗地不停地下着。如在雨地里放一个如图1那样的长方体的容器,雨水将它注满要用1小时。有下列A—E不同的容器(图2),雨水注满这些容器各需多长时间?二、将一正方形的纸对折2次后,还是正方形(见图1)。用同
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