1.1.2 瞬时速度与导数
明目标、知重点 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体s?t0＋Δt?－s?t0?在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率，
Δt当Δt→0时的极限，即v＝lim →
Δt0
s?t0＋Δt?－s?t0?Δs
＝lim . ΔtΔt→0Δt
2．瞬时变化率
一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝lim . ΔxΔx→0Δx
3．导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?
，我们称它为函数y＝f(x)
Δxf?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝lim . ΔxΔx→0Δx
在x＝x0处的导数，记为f′(x0)，即f′(x0)＝lim →
Δx0
4．导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称
f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数．
探究点一 瞬时速度
思考1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均速度能否精确反映它的运动状态？
答 用0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v来粗略地描述其运动状态．
在0≤t≤0.5这段时间里，v＝在1≤t≤2这段时间里，v＝
h?0.5?－h?0?
＝4.05(m/s)；
0.5－0
h?2?－h?1?
＝－8.2(m/s)．
2－1
平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 65
h??－h?0?4965
易知h()＝h(0)，v＝＝0，
4965
－049而运动员依然是运动状态．
思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．
如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，看平均速度v的变化趋势，用式子 lim →
h?2＋Δt?－h?2?
表示，这就是物体在t＝2时的瞬时速度．
Δt
Δt0
例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?
1
解 火箭的运动方程为h(t)＝100t－gt2，
2
1
－gt2?的合成． 火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)与重力引起的位移??2?在t附近的平均变化率为
?100?t＋Δt?－1g?t＋Δt?2?－?100t－1gt2?
22????
Δt
1
100Δt－g·t·Δt－g?Δt?2
2
＝ Δt1
＝100－gt－gΔt.
2
当Δt→0时，上式趋近于100－gt.
可见t时刻的瞬时速度h′(t)＝100－gt. 令h′(t)＝100－gt＝0， 100100
解得t＝≈≈10.2(s)．
g9.8
所以火箭熄火后约10.2 s向上速度变为0.
反思与感悟 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．要求瞬时速度，可以先求平均速度． 思考3 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？ 答 火箭向上速度变为0，意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，100100由例1知火箭熄火后上升的时间为t＝，所以火箭熄火后上升的最大高度h＝100×－
gg1?100?21002
g×＝≈510.2(m)． 2?g?2g
跟踪训练1 质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
ΔsΔs∴＝4a＋aΔt.在t＝2时，瞬时速度为lim ＝4a， ΔtΔt→0Δt即4a＝8，∴a＝2. 探究点二 导数的定义
思考1 从平均速度当Δt→0时是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？
f?x0＋Δx?－f?x0?答 对函数y＝f(x)来说，f(x)在点x＝x0附近改变Δx时，平均变化率为.
Δx当Δx→0时，如果平均变化率趋于一个常数l，则l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率． 思考2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？
答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
思考3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？
答 若函数f(x)在区间(a，b)内可导，对(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，f′(x)就叫函数y＝f(x)的导函数．
函数f(x)在点x＝x0处的导数是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值． 例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数 f?2＋Δx?－f?2?f′(2)＝lim，
ΔxΔx→0而f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx，于是
－?Δx?2－Δx
f′(2)＝lim＝lim(－Δx－1)＝－1.
ΔxΔx→0Δx→0
反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
(2)求平均变化率＝；
ΔxΔx(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim →
Δx0
Δy
. Δx
跟踪训练2 利用导数的定义求下列函数的导数： (1)y＝x2＋ax＋b在x＝0处的导数； (2)y＝x＋2在x＝2处的导数．
解 (1)∵Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－02－a·0－b＝(Δx)2＋a(Δx)，
2
Δy?Δx?＋a?Δx?∴＝＝Δx＋a， ΔxΔx
∴y′|x＝0＝lim →
Δx0
Δy
＝lim (Δx＋a)＝a. ΔxΔx→0
2＋2＝
4＋Δx－2， 4＋Δx＋2?
(2)∵Δy＝Δy∴＝Δx＝
1
?2＋Δx?＋2－
4＋Δx－2?
＝Δx
4＋Δx－2??Δx?4＋Δx＋2?
.
4＋Δx＋2
Δy
＝lim 0ΔxΔx→0
1＝. 4
4＋Δx＋21
∴f′(2)＝lim→
Δx
探究点三 导数的实际应用
例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm，加热后铁板会膨胀．当温度为t℃时，边长变为10(1＋at) cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率． 解 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为 ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2 ＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，
ΔS
因此＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
Δt令Δt→0，得S′＝200(a＋a2t)． 所以铁板对温度的膨胀率为200(a＋a2t)．
反思与感悟 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：
Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的
ΔxΔx瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．
跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解 在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)． Δyf?2＋Δx?－f?2?
根据导数的定义，＝
ΔxΔx?2＋Δx?2－7?2＋Δx?＋15－?22－7×2＋15?
＝ Δx4Δx＋?Δx?2－7Δx＝＝Δx－3，
Δx所以，f′(2)＝lim →
Δx0
Δy
＝lim (Δx－3)＝－3. ΔxΔx→0
同理可得，f′(6)＝5.在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
1
1．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
21
A．at0 B．－at0 C.at0 D．2at0
2答案 A
2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.1.2 瞬时速度与导数
