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2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题
分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.
定理2.16. 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 AB?BA?I 那么矩阵称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
?A?1?A0?若A,B都可逆，则 ????0B???0?AC??0B????1?10?? B?1??1?A?1???0?1?A?1CB?1??A0??,??B?1??CB??A?1B??A?1??En?k??0?A?1???1?1??BCA0??, B?1??Ek?AB????CD????00??Ek???1D1?1???CA0?En?k??
其中D1?D?CA?1B.
以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.
?1200??2?100??，求A?1. 例2.17. 已知矩阵A???00?12????002?5??A10???12??12?AA解：可以将矩阵A分成四块A??，其中，??12??2?5?，根?2?1?0A?2??????A1?1据分块矩阵的性质，A???0?10?，而A1，A2为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别?1?A2?2???5?2?5?，A2?1??， ???1??2?1?5??15为 A1?1???2?5 .
?1?5?2?1所以 A??5?0??05?150020??00?
??5?2???2?1?02.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用
在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.
定理2.18. 设A 为n阶矩阵，?是一个数，如方程AX??X,存在非零解向量，则称?为A的一个特征值，相应的非零解向量X称为与特征值?对应的特征向量.
定理2.19.设A为n阶矩阵，含有未知量?的矩阵?I?A称为A 的特征矩阵，其行列式?I?A为?的n次多项式，称为A 的特征多项式?I?A?0称为A的特征方程，?是矩阵A的一个特征值，则一定是?I?A?0的根，因此又称为特征根.若?是?I?A?0的ni重根，则?称为A的ni重特征值.
引理2.20.设A为n阶矩阵，则A为幂等矩阵的充要条件r?A?E??r?A??n，这里E为n阶单位矩阵，r?A?表示A的秩.
?E引理2.21.幂等矩阵?A11A12?X?B 与?r?0?00?0? 或?0E?相似，其中r?r?A?. ?0??r?例2.22. 设A,A1,A2均为n阶方阵，且A?A1?A2，r?A??r,r?Ai??ri?i?1,2?，
求证：若A2?A,r?r1?r2，则A,A1,A2的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.
证明：（1）当A可逆时，即r?A??n，因为A2?A，所以A?E， 又 r?r1?r2，E?A1?A2， 由已知得r?A??r?A1??r?A2??n，由引理2.20得到A12?A1.
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2?A2，所以A1，A2是幂等矩阵，由引理2.21得 同理A2?EA1~?r?0?EA,A1,A2和E，?r?0?00?0?，A~2??， ?0E0??r?0??00?，??有相同的特征根，所以A,A1,A2的特征值为1或0，且?0E0??r?特征值1的个数和它们的秩相等.
（2）当r?A??0时，即A?0，结论显然成立.
（3）设0?r?n，即A为非零由布可逆矩阵，又因为A2?A，故存在可逆矩阵P使
P?1AP?P?1A1P?P?1A2P，r?r?A?，
?E令 ?r?00??A11A12??B11??????0??A21A22??B21B12? ?B22?这里 P?1AP??Aij? P?1A2P??Bij??Er?A11?B11， 所以 r=r?A11?B11??r?A11??r?B11??r?A1??r?B1??r， 从而 r=r?A11?B11??r?A11??r?B11??r?A1??r?A2??r， 又因为 r?A1??r?A11??0， r?A2??B11?0， 从而 r?A1??r?A11?，r?A2??B11，
这样Er?A11?B11，且r?A11?B11??r，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q，使
?ErQ?1A11Q=?1?0?Er?0?0??0?1 ，QBQ=??0110??0?， Er2??0?En-r??B12??Q?10???B22???0En-r?
0??Q?10??1?Q?PAP??1?0???0En-r??00??Q?10??1?Q?PAP??2?En-r???0En-r??0?Q?10??A11A12??Q?10??Q?10??B11???????????AA0E0E22???n-r??21n-r??0En-r??B21?Q?1A11QQ?1A12??Q?1B11QQ?1B12???????，
B22??A21QA22??B21Q .
?Er0C11??QA11QQA12??0C21?设 ?， ???0??A21QA22??GGA??111222??1?1?Er0C11???r，所以G?0,G?0， 00C又因为r?211221??1??G11G12A22???QB11Q设 ??B21Q?1?00W11?QB12??????0Er2W21?， B22????Z11Z12B22??1同上可得Z11?0，W11?0 ，故C11?0,G11?0,W21?0,Z12?0，又
?Er1?QA11QQA12??????0AQA?2122??0??1?10000??0?， A22???QB11QA?0从而22，同理 ??B21Q?1?0QB12????0B22???0?100??Q?10??Er20? ，T?P??，
0En?r??00???Er1?故有 T?1AT??0?0?综上所述,结论成立.
0Er200??Er1??0?,T?1AT?1?0?00???0000??0??0?,T?1A2T??0?00???0Er200??0?， 0??
小结
本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方
面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关内容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优
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越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.
参考文献
分块矩阵的应用专业论文
