分块矩阵的应用
引言
矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.
矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵，其中A?0，并且AC?CA，则可求得
AB?AD?BC；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用. CD本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
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1 分块矩阵的定义及相关运算性质
1.1分块矩阵的定义
矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.
定义1设A是一个m?n矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线条将它
?A11...A1s???分成s块，于是有rs块的分块矩阵，即A??.........?，其中Aij表示的是一个矩阵.
??Ar1...Ars??1.2分块矩阵的相关运算性质 1.2.1加法
设A??aij?m?nB??bij?m?n，用同样的方法对A,B进行分块
A??Aij?其中Aij，Bij的级数相同，
r?s，B??Bij?r?s，
则 A?B??Aij?Bij?.
r?s1.2.2数乘
设是任A??aij?m?n??Aij?r?s,k为任意数，定义分块矩阵A??Aij?r?s与k的数乘为
kA??kAij?r?s
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1.2.3乘法
设A??aij?s?n,B??bij?n?m分块为A??Aij?,B??Bij?，其中Aij是si?nj矩阵，Bij是
r?ll?rni?mj矩阵，定义分块矩阵A?Aij??r?l和B??Bij?的乘积为
l?rCij?Ai1B1j?Ai2B2j?...?AilBlj,?i?1,2,...t;j?1,2,3,...,l?1.2.4转置
设A??aij?s?n.、
分块为A??Aij?r?s，定义分块矩阵A??Aij?r?s的转置为
A???A?ji?1.2.5分块矩阵的初等变换
s?r
分块矩阵A的下列三种变换称为初等行变换： (1) 对调A的两行(用ri?rj表示对调i、j两行)；
(2) 用一个可逆阵K左乘A的某一行的所有子矩阵(用K?ri表示用K左乘第i行)； (3) 将A的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K再加到另一行的对应子矩阵上去(ri?K?rj表示将第j行左乘K再加到第i行).
将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2 分块矩阵的应用
2.1用分块矩阵解决行列式的问题
利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.
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引理2.1([3])若A为k阶方阵，B为r阶方阵，C为r?k矩阵, 则有
A0CB?AB
在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论.
?A 定理2.2([3])若n阶方阵P可分为P???CB?其中A为r阶方阵, B为r??n?r?D??
矩阵, C为?n?r??r矩阵, D为?n?r?阶方阵, 则有
（1）当A为可逆矩时P?AD?CA?1B； （2）当D为可逆矩阵时P?DA?BD?1C.
在进行行列式的求值运算时, 若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：
c0bac10...a0b0c3...0...b.........cn0...0例2.3 计算行列式 P?a其中c1?0,i?123...n.
T解 设 A?(c0)，B??bb...b?，C??aa...a?
?c10...0??0c...0?3?,c?0,i?1,2,???,n D??i?.........???00...cn??则D为可逆矩阵，由定理1的结论（2）知
P?ACBD?DA?BD?1C ，
0??0?...???1cn??
?c1?10...??10c2...??1将 D??......???00... .
?1?1及A,B,C,D代入得 P?c1c2...cn(a?ab(c1?1?c2?...?cn)).
?a例2.4 矩阵P??aij????b当i?j时当i?j时，求行列式P的值.
解：行列式P的主对角线元素为a，其余元素为b，因此： （1）当a?b时，由行列式的性质知P=0；
（2）当a?b时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得
a?b0P?0bb?a0...a?bb?a.........00...bb...0000， ...a?bb?aba00...??0???0?????,B??...?,???a?bb?a?o???0a?b??b?a?? ?00...?a?bb?a0?0a?bb?a...?令
A??......?00...?0?00...?0C??bbb...b?,D??a?,
由定理2.2可知 P?AD?CA?1B，
而 A??a?b?计算结果得 P??a?b?n?1n?1?1?a?b,i?j???, ，A?1??,i>j??0?a???1?n?b??a?b??a+?n?1?b?.
n?1若定理中的矩阵A和D均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式
DA?BD?1C?AD?CA?1B进行转换求行列式的值，举例说明如下.
推论2.5 若A,B,C,D均为n阶方阵，且A可逆，AC?CA，
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