微专题79 利用点的坐标处理解析几何问题
有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：
1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：
（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受
x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束
（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型：
（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）
（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）
4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题：
x2y2例1：已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆Cab的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A,B分别是椭圆C的左右顶点
（1）求圆O和椭圆C的方程
（2）已知P,Q分别是椭圆和圆上的动点（P,Q位于y轴的两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP,BP分别与y轴交于点
M,N，求证：?MQN为定值
解：（1）依题意可得2a?4?a?2，且r?b QeO过焦点，
?b?c，再由b2?c2?a2?4可得b?c?2 x2y2?1，圆方程为x2?y2?2 ?椭圆方程为?42（2）思路：条件主要围绕着P点展开，所以以P为核心，设P?x0,y0?，由PQ与x轴平行，可得Q?x1,y0?。若要证明?MQN为定值，可从?MQN的三角函数值下手，在解析中角的余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑
uuuuruuuruuuuruuurQM?QNcosMQN?uuuuruuur，模长并不利于计算，所以先算QM?QN，考虑利用条件设出
QM?QNAP,BP方程，进而M,N坐标可用核心变量x0,y0表示，再进行数量积的坐标运算可得uuuuruuur?QM?QN?0，从而?MQN?，即为定值
2解：设P?x0,y0? QPQ与x轴平行，
?设Q?x1,y0?，由P,Q所在椭圆和圆方程可得：
22?x0y022?x0?4?2y0?1??? ??22?42??x2?y2?2?x1?2?y00?1由椭圆可知：A??2,0?,B?2,0? ?kAP?y0y0 ?AP:y??x?2? x0?2x0?2令x?0，可得：M?0,??2y0?? x0?2?同理：BP:y???2y0?y0x?2N可得???0,?
x0?2?x0?2?
uuuur?r?????2y0x0y0?uuu2y0x0y0??QM???x1,?y0????x1,?,QN??x,??y??x,???1?1?0?x?2x?2x?2x?20000????????2222uuuuruuur?x0y0?x0y0?x0y0?x0?4?2y022，代入?可得： ?QM?QN?x1??????x1?222x0?2?x0?2?x0?4??x1?2?y022uuuuruuur4?2yy??00222QM?QN?2?y0??2?y?y?2??0 ?0024?2y0?4?QM?QN，即?MQN??2为定值
思路二：本题还可以以AP,BP其中一条直线为入手点（例如AP），以斜率k作为核心变量，直线AP与椭圆交于A,P两点，已知A点坐标利用韦达定理可解出P点坐标（用k表示），从
uuuuruuur而可进一步将涉及的点的坐标都用k来进行表示，再计算QM?QN?0也可以，计算步骤如
下：
解：设P?x0,y0?，由椭圆方程可得：A??2,0?,B?2,0? 所以设直线AP:y?k?x?2?，联立方程：
?x2y2?1????2k2?1?x2?8k2x?8k2?4?0 42??y?k?x?2??8k2?44k2?24k?xAx0?2?x0??2，代入到直线方程可得：y0? 22k?12k?12k?1?4k2?24k??P??2,2?
?2k?12k?1?4k22k?1??1 ?kBP?4k2?22k?2?22k?11?BP:y???x?2?，由AP:y?k?x?2?，令x?0可得：
2k?1?M?0,2k?,N?0,?
?k?uuuuruuur?1?设Q?x1,y0?，则QM???x1,2k?y0?,QN???x1,?y0?
k??
uuuuruuur2k2?1?1?222?QM?QN?x1??2k?y0???y0??x1?y0?2?y0
kk??22由Q在圆上可得：x1?y0?2，再由y0?4k代入可得： 22k?1uuuuruuur2k2?14kQM?QN?2?2??2?0
k2k?1?QM?QN，即?MQN??2为定值
x2y2例2：设椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B，
ab已知AB?3F1F2 2（1）求椭圆的离心率
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线
l与该圆相切，求直线l的斜率
解：（1）由椭圆方程可知：A?a,0?,B?0,b?，F1??c,0?,F2?c,0?
?AB?a2?b2,F1F2?2c
?a2?b2?3?2c?a2?b2?3c2 222即a?a?c?3c?e?22c2? a2（2）由（1）可得a:b:c?2:1:1
x2y2?椭圆方程为2?2?1 设P?x0,y0?,B?0,c?
2ccuuuruuur?F1P??x0?c,y0?,F1B??c,c?
Q以线段PB为直径的圆经过点F1
uuuruuur?F1P?F1B?c?x0?c??cy0?0?y0???x0?c?
联立方程：??y??x?c22?x?2y?2c22?x?2x?c?2c，整理可得： ??22
3x2?4cx?0，解得：x0??4cc，代入直线方程：y0? 33?41??P??c,c? QB?0,c?
?33?11?45?22???1??c?0?c?c?c 可知PB的中点为T??c,c?，r?PB?????22?33?33???3?222??2?5c2??圆方程为?x?c???y?c??
339????设直线l：y?kx
22?dT?l?22?kc?c33k2?12?5c，整理可得： 32?52?22k?????k?1??k?8k?1?0，解得：
3?9?3k?4?15 ?直线l的斜率为4?15或4?15
x2y2例3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，点
abD在椭圆上，DF1?F1F2,（1）求椭圆的标准方程
F1F2DF1?22，VDF1F2的面积为
2 2（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 解：（1）设F1??c,0?,F2?c,0?，由
F1F2DF1?22可得：DF1?F1F222?2c 2?SVDF1F2?11222F1F2?DF1??2c?c?，解得c?1?c?1 22222 2?F1F2?2,DF1?
高考数学讲义微专题79利用点的坐标解决圆锥曲线问题(含详细解析)
