考点专练
1．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( ) A．0 B.3 C.3或0 3
D.3或0
【答案】D
|－1＋3k|
【解析】因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0,1)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝3，
1＋k2故选D.
2．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( ) A．1＋2 C．1＋
2 2 B．2 D．2＋22
【答案】A
【解析】将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距|1－1－2|离d＝＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1.
23．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝2”的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分不必要条件．
4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】C
【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；15
若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－.故实数m的
43取值最多有4个，故选C.
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )
1
212
，即有2＝，2k＋12
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 【答案】C
【解析】由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2 【答案】D
【解析】由题意知，曲线方程为(x－6)2＋(y－6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程|6＋6－2|
为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝52，
252－32故最小圆的半径为＝2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
2
7．已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A．x2＋?y±
?
3?24＝ 3?3
B．x2＋?y±
?
3?21＝ 3?3
C.?x±
?
3?224＋y＝
33?
D.?x±
?
3?221
＋y＝
33?
【答案】C
【解析】设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，圆C与y轴交于A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知11|OA|133∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，则tan 60°＝＝＝3，所以a＝|OC|＝，即圆心坐标为?±，0?，
22|OC||OC|3?3?r2＝|AC|2＝12＋?±
43?243
＝.所以圆的方程为?x±?2＋y2＝，故选C.
3?3?3?3?
8．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线
2
l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 【答案】B
【解析】由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有
|k＋2|
33
＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线
44k2＋1
l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B. 9．关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C的长度l满足l>42；
④曲线C所围成图形的面积S满足π 【解析】①将(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，则可以确定曲线关于x轴，y轴对称，关于原点对称，故①是真命题． ②由x2＋y4＝1得0≤x2≤1,0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x2＋y2≥1，故②是真命题． ③由②知，x2＋y4＝1的图象位于单位圆x2＋y2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③是真命题． ④由③知，π×12 3 10．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 C．6 B．42 D．210 【答案】C 【解析】由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，解得a＝－1，∴A(－4，－1)，|AC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36，即|AB|＝6. 11．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( ) A．32 B．－32 C．6 D．－6 【答案】B 【解析】两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以 |C1C2|＝C1(－a,0)，C2(0，b)， a2＋b2＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由 ?a＋b?2≤a＋b，得(a＋b)2≤18， 2?2? 22 所以－32≤a＋b≤32，当且仅当“a＝b”时等号成立．所以a＋b的最小值为－32. 12．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( ) A．(4,6) B．[4,6] C．(4,5) D．(4,5] 【答案】A |m＋2| 【解析】设直线4x－3y＋m＝0与直线4x－3y－2＝0之间的距离为1，则有＝1，m＝3或m＝－7.圆 5心(3，－5)到直线4x－3y＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x－3y－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A. 13．若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为23，则m的值为( ) A．1 C．1或－3 B．－3 D．2 【解析】因为圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝5.又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为23. 4 所以圆心C到直线的距离d＝r2－（3）2＝2， 因此 |1－0＋m|12＋（－1）2 ＝2， 所以m＝1或m＝－3. 【答案】C 14．已知过点(－2，0)的直线与圆C：x2＋y2－4x＝0相切于点P(P在第一象限内)，则过点P且与直线3x－y＝0垂直的直线l的方程为( ) A．x＋3y－2＝0 C.3x＋y－2＝0 B．x＋3y－4＝0 D．x＋3y－6＝0 【解析】圆C：x2＋y2－4x＝0的标准方程(x－2)2＋y2＝4， 所以圆心C(2，0)，半径r＝2. 又过点(－2，0)的直线与圆C相切于第一象限， 所以易知倾斜角θ＝30°，切点P(1，3)， 设直线l的方程为x＋3y＋c＝0，把点 P(1，3)代入， 所以1＋3＋c＝0，所以c＝－4. 所以直线l的方程为x＋3y－4＝0. 【答案】B 15．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( ) 43A．－ B．－ 34C.3 D．2 【答案】A 【解析】因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|4＝1，解得a＝－. 3a2＋1 16．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( ) A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0 C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0 【答案】D 5
[精品]备战2020高考理科数学二轮考点专题突破 专题14 直线与圆（考点专练）（教师版）
