第 课时
教学内容：数列的定义
教学目的：理解数列的定义、通项公式、Sn的含义，掌握通项公式的求法及其应
用， 了解递推的含义．
教学重点：数列的基本概念．
教学难点：求通项公式、递推公式的应用 教学过程：
一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{an}．即{an}: a1, a2, … , an．
二、通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n 之间的关系可以用一个公式an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
如数列：2,22,23,24,25,简记为：数列{2n}
。an?2n(n?N*)
三、前n项之和：Sn= a1+a2+…+an 注 求数列通项公式的一个重要方法：
(n?1)?s1 对于数列{an},有： an??s?s(n?2)n?1?n例1、已知数列{100-3n}，
（1）求a2、a3；（2）67是该数列的第几项；（3）此数列从第几项起开始为负项．
解：
3n?2} 练习:已知数列 {3n?1(1)求这个数列的第10项；
98(2)是不是该数列中的项，为什么？ 101例2 求下列数列的通项公式：
1111(1)5,10,15,20，…；（2），，，，；
2468?. (3) ?1，1，?1，1，…． (4)9,99,999,9999，an?2n?1；解 （1）an?5n．（2）an?1．； 2n10n?1 （3）an?(?1)n．，（4）an＝练习：定写出数列3，5，9，17，33，……的通项公式： 答案：an=2n+1 。
例3 已知数列?an?的前n项和，求数列的通项公式： （1） Sn=n2+2n； （2） Sn=n2-2n-1. 解：（1）①当n≥2时，an=Sn-Sn?1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；
②1=3； 当n=1时，a1=S1=12+2×③1+1=3，∴an=2n+1为所求. 经检验，当n=1时，2n+1=2×（2）①当n≥2时，an=Sn-Sn?1=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3；
②1-1=-2； 当n=1时，a1=S1=12-2×
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??2(n?1)a③1-3=-1≠-2，∴n=? 经检验，当n=1时，2n-3=2×为所求．
2n?3(n?2)?注：已知Sn求an时，要先分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一．
练习1.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1, 则a4等于( ）
A.7 B.8 C.9 D.17
练习2.已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为（ ） A.91 B.152 C.218 D.279 四、同步练习：
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第 课时
教学内容：等差数列（1）
教学目的：通过复习，巩固等差数列的定义、通项公式、求和公式 教学重点：等差数列 教学过程：
（一）主要知识
1．等差数列的定义: an?1?an?d(常数)(n?N?) 2．通项：an?a1?(n?1)d．
3．求和：Sn(a1?an)n(n?1)n?2?na1?2d．
4．中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c （二）热身练习： 讲练题：
（1）已知等差数列{an}中a1=31,d=-7,求 a6及S10 . （2）求等差数列2，9，16，…的第11项.
（3）已知等差数列{an}中a1=7，a9=39，求S9;
（4） 10和16的等差中项是（ ）。 三、例题讲解：
【例1】等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50. (1)求通项an; (2)若Sn=242,求n.
【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程组??a1＋9d＝30?a ，解得??a1＝12
1＋19d＝50?
d＝2
.
故an＝2n＋10.
(2)由Snn－
n＝na1＋2d，Sn＝242，
得12n＋nn－
2×2＝242，解之得n＝11或n＝－22(舍去)． ∴n＝11.
解 设这五个数组成的等差数列为{an}由已知：a1＝－1，a5＝7，∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2。所求数列为：－1，1，3，5，7．练习 在等差数列?an?中,已知a4?9,a9??6,Sn?63,求n. 解:设首项为a1,公差为d, 则??9?a1?3d得???6?a?8d?a1?18?d??3?63?S3n?18n?n(n?1)得:n?6或n?7 12【例2】 Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，求a5 ?解析：由题意知??
2a6×51＋d＝6a1＋2d，??a1＋3d＝1，
解之得??a1＝7
?
d＝－2
.
- 3 -
.
∴a5＝1＋(－2)＝－1.
练习：设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( )
A．18 B．20 C．22 D．24
【例3】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x－d，x，x＋d． ?(x－d)＋x＋(x＋d)=15则? 222(x－d)＋x＋(x＋d)=83?2。∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3 解得x＝5，d＝±
注 设元技巧: 三数:a?d,a,a?d 四数a?3d,a?d,a?d,a?3d
【例4】已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值．
13+3×2d/2=11×13+11×10d/2。 解 解法1：设公差为d，由S3=S11得：3×
解得d= -2, 所以an=15-2n。
?an?0?15?2n?0由?即?得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,Sn取最大值.
a?015?2(n?1)?0??n?1解法2:由解1得d= -2,又a1=13，所以 dd Sn?n2?(a1?)n= - n2+14 n = -(n-7)2+49
22∴当n=7，Sn取最大值．
【练习】在等差数列{an}中，已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0, 求a1.
解 a1=2.
【练习】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
例1 判断下列数列是否是等差数列： （1）an=3n＋5; （2）an+1=an-3. 解：
练习：已知数列{ an}满足：a1=2,an= an?1+3,求通项an． 四、小结：
定义 an- an?1=d (n?2) 通项公式 等差中项 an= a1+(n-1)d a?bA= 2?(a1?an)n??2Sn?? 1?na?n(n?1)d1??2求和公式 五、同步练习：
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第 课时
教学内容：等差数列（2）
教学目的：深化知识，强化等差数列性质的应用 教学重点：等差数列的性质及应用 教学难点：性质的应用 教学过程：
（一）简单性质:
（1）若n+m=2p，则an+am=2ap．
推广：an,an?m,an?2m,组成公差为md的等差数列．（下标等差，则项也等差）
（2）m?n?p?q,则am?an?ap?aq （二）知识应用
例1 在等差数列{ an}中，解决下列问题： （1）已知a3+a11=20，求a7．
（2）已知：等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20； 解（2）∵a4＋a6＋a15＋a17=50，又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21
(a1+a20)×20?10×(a4?a17)?250 ∴a4＋a17=a6＋a15=25，S20=2（3）已知a3+a4+a5+a6+a7＝450, 求a2+a8及前9项和S9．
解（3） 由等差中项公式：a3+a7＝2a5， a4+a6＝2a5，由条件
a3+a4+a5+a6+a7＝450, 得：5a5＝450, ∴a2＋a8＝2a5＝180，S9＝9(a1?a9)810 2（4）等差数列{an}的前n项和为30,前2n项和为100,则它的前3n项和为 C ． （A）130 （B）170 （C）210 （D）260 （5）已知{an}是等差数列，公差为-2，且a1+a4+...+ a94= 100 ，则a3+a6+...+a96= ．
例2 已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．
解法一 设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得
?(a1＋2d)(a1＋bd)＝－12 ??a1＋3d＋a1＋5d=－4 ① ②
由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4，再由d＞0，得d＝2 ∴a1=－10，最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180
解法二 由等差数列的性质可得： a4＋a6＝a3＋a7 即a3＋a7＝－4， 又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根 解方程可得x1=－6，x2＝2 ∵ d＞0 ∴{an}是递增数列，∴a3＝－6，a7=2
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对口升学数学复习(数列教案)
