2019年
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率). 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a，
2
b2，p的值．
x2y2
例1 (1)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，Bab2
两点(异于M，N)，△AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )
3A.
＋＝1 128
x2y2
B.＋＝1 124D.＋y＝1 3
x2y2
2
C.＋＝1 32答案 C
x2y2x2
解析 由△AF1B的周长为43，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝43， 解得a＝3，则M(－3，0)，N(3，0)． 设点A(x0，y0)(x0≠±3)， 2
由直线AM与AN的斜率之积为－，
3可得y0
x0＋3
·
2＝－，
3x0－3
y0
222
即y0＝－(x0－3)，①
3
x2x2y20?0022?又＋2＝1，所以y0＝b?1－?，②
3b?3?
由①②解得b＝2.
2
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所以C的方程为＋＝1.
32
(2)已知以圆C：(x－1)＋y＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．8 答案 A
解析 因为圆C：(x－1)＋y＝4的圆心为C(1,0)， 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y＝4x，
?y＝4x，?由?22
???x－1?＋y＝4，
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
解得A(1,2)．
抛物线C2：x＝8y的焦点为F(0,2)， 准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值为1.
思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
x2y2
跟踪演练1 (1)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近
ab线的一个交点为(3，4)，则双曲线的方程为( ) A.
－＝1 169
x2y2
B.－＝1 34D.－＝1 916
x2y2x2
C.－＝1 43答案 D
x2y2y2
解析 ∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上， ∴c＝5，可得a＋b＝25.①
又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y＝x上，
2
2
bab4∴＝.② a3
由①②联立，解得a＝3，b＝4， 可得双曲线的方程为－＝1.
916
(2)(2018·宁波模拟)已知双曲线C的渐近线方程是y＝±22x，右焦点F(3,0)，则双曲线C的方程为________，
x2y2
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又若点N(0,6)，M是双曲线C的左支上一点，则△FMN周长的最小值为________． 答案 x－＝1 65＋2
8
2
y2
x2y2
解析 因为点F(3,0)为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±22x， 即＝22，① 又因为a＋b＝3，②
联立①②，解得a＝1，b＝22，所以双曲线的方程为x－＝1，设双曲线的左焦点为F′，则△FMN的周长为
8|NF|＋|MN|＋|MF|＝|NF|＋|MN|＋2a＋|MF′|≥|NF|＋2a＋|NF′|＝2|NF|＋2a＝65＋2，当且仅当点M为直线
2
2
2
2
babay2
NF′与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以△FMN的周长的最小值为65＋2.
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝(2)在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝2
2
2
2
2
2
ca1－??. 1＋??.
a?b?2?a?
ca?b?2??
x2y2b2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
abax2y2
例2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2
ab3
的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为( )
51232A. B. C. D. 2322答案 D
解析 设|F1B|＝k(k>0)， 依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k， ∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 3∵cos∠AF2B＝，
5
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|＝|AF2|＋|BF2|－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 6222
∴(4k)＝(2a－3k)＋(2a－k)－(2a－3k)(2a－k)，
5化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
2
2
2
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而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k， ∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k， ∴|BF2|＝|AF2|＋|AB|，
∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形． ∴c＝2c2a，椭圆的离心率e＝＝. 2a2
2
2
2
x2y2
(2)已知双曲线M：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c.若双曲线M的右支上存在点P，
ab使
3c＝，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
sin∠PF1F2sin∠PF2F1
a?2＋7?A.?1，?
3??
C．(1,2) 答案 A
?2＋7?
B.?1，?
3??
D.(1，2]
sin∠PF1F2|PF2|
解析 根据正弦定理可知＝，
sin∠PF2F1|PF1||PF2|aa所以＝，即|PF2|＝|PF1|，
|PF1|3c3c|PF|－|PF|＝2a，
1
2
a?6ac?|PF1|＝2a，解得|PF1|＝1－所以?， ?3c－a?3c?
6ac而|PF1|>a＋c，即>a＋c，
3c－a2－72＋72
整理得3e－4e－1<0，解得 又因为离心率e>1，所以1 3 思维升华 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． x2y2x22 跟踪演练2 (1)(2018·诸暨市适应性考试)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线截椭圆＋y＝1所得 ab4 43 弦长为，则此双曲线的离心率等于( ) 3A.2 B.3 C.答案 B 6 D.6 2 x2y2bb解析 双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，由椭圆的对称性不妨取渐近线为y＝x，设渐近线与椭圆的交 abaa 2019年 ??点为?x0，x0?， ? ?b??23?，?x＋?x?＝???a??3??则有? x?b? x?＝1，??4＋??a? 2 0 02 2 20 20 ba? b2c2222 解得2＝2，则c＝a＋b＝3a，则此双曲线的离心率e＝＝3，故选B. aax2y2?2?(2)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点?a，0?且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双 ab?3? 曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝为( ) A．y＝±2x C．y＝±2x 答案 B 解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝x， 则直线l的斜率kl＝－， B．y＝±3x D．y＝±4x 42 c，则双曲线C的渐近线方程3 baaba?2? 直线l的方程为y＝－?x－a?， 3 b? ? 22 整理可得ax＋by－a＝0. 3焦点(c,0)到直线l的距离 d＝?ac－2a2??ac－2a2?????3??3?? a2＋b2 ＝ c， 则弦长为2c－d＝2 4 22 3 22 c2－4 ?ac－2a2?2 ?3???42 c2 ＝ 3 c， 整理可得c－9ac＋12ac－4a＝0， 即e－9e＋12e－4＝0， 分解因式得(e－1)(e－2)(e＋3e－2)＝0. 2 4 2 又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2， cab所以＝ ac2－a2 ＝a2 ?c?2－1＝3， ?a??? 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±3x. 方法二 圆心到直线l的距离为c2－??22?2cc?＝， ?3?3
2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案
