第2课时 导数与函数的极值、最值
题型一 用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案 D
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0； 当－2
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值， 在x＝2处取得极小值． 命题点2 求已知函数的极值
例2 (2018·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)
e的极值．
1
ae－a解 f′(x)＝1－x＝x，
ee
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a>0时，令f′(x)＝0，得e＝a，即x＝lna， 当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0； 当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，
在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值． 命题点3 根据极值(点)求参数
xax?1?2
例3 若函数f(x)＝－x＋x＋1在区间?，4?上有极值点，则实数a的取值范围是( )
32?3??10?A.?2，?
3??
C.?
x3a?10?B.?2，?
3???17?D.?2，? 4??
x3a?10，17?
??34?
答案 D
解析 因为f(x)＝－x＋x＋1，
32所以f′(x)＝x－ax＋1.
2
2
?1??1?22
函数f(x)＝－x＋x＋1在区间?，4?上有极值点，可化为x－ax＋1＝0在区间?，4?上
32?3??3?
有解，
1?1?即a＝x＋在区间?，4?上有解， x?3?11
设t(x)＝x＋，则t′(x)＝1－2，
x3axx1
令t′(x)>0，得1 3 ?1?所以t(x)在(1,4)上单调递增，在?，1?上单调递减． ?3? 17?1?10 所以t(x)min＝t(1)＝2，又t??＝，t(4)＝， 4?3?3 ?1?因为a＝2时，f(x)在区间?，4?上不存在极值点， ?3? 2 ?17?所以a∈?2，?. 4?? 思维升华函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性． 跟踪训练1 设函数f(x)＝ax－2x＋x＋c. (1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围． 解 f′(x)＝3ax－4x＋1. (1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1. 当a＝1时，f(x)＝x－2x＋x＋1，f′(x)＝3x－4x＋1， 1 由f′(x)>0，解得x<或x>1； 31 由f′(x)<0，解得 3 1??－∞，所以函数f(x)在?和(1，＋∞)上单调递增， 3??? 3 2 2 2 3 2 ?1?在?，1?上单调递减， ?3? 所以函数f(x)的极小值是f(1)＝1－2×1＋1＋1＝1. (2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数， 即f′(x)＝3ax－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax－4x＋1≤0恒成立． ①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件； ②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)－4×3a×1≤0，即4 16－12a≤0，解得a≥. 3 2 2 2 3 2 ?4?综上，a的取值范围为?，＋∞?. ?3? 3 题型二 用导数求函数的最值 例4 (2018·贵阳检测)已知函数f(x)＝(1)求f(x)的单调区间； x－1 －lnx. x?1?(2)求函数f(x)在?，e?上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)． ?e? 解 (1)f(x)＝ x－11 －lnx＝1－－lnx， xxf(x)的定义域为(0，＋∞)． 111－x∵f′(x)＝2－＝2， xxx由f′(x)>0，得0 1 ∴f(x)＝1－－lnx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． x?1?(2)由(1)得f(x)在?，1?上单调递增，在[1，e]上单调递减， ?e? 1?1?∴f(x)在?，e?上的最大值为f(1)＝1－－ln1＝0. 1?e? 111?1??1?又f??＝1－e－ln＝2－e，f(e)＝1－－lne＝－，且f?? eee?e??e? ?1??1?∴f(x)在?，e?上的最小值为f??＝2－e. ?e??e??1?∴f(x)在?，e?上的最大值为0，最小值为2－e. ?e? 思维升华 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大 4 的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 跟踪训练2 (2017·北京)已知函数f(x)＝ecosx－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； x?π?(2)求函数f(x)在区间?0，?上的最大值和最小值． 2?? 解 (1)因为f(x)＝ecosx－x， 所以f′(x)＝e(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝e(cosx－sinx)－1， 则h′(x)＝e(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2esinx. xxxxx?π?当x∈?0，?时，h′(x)<0， 2???π?所以h(x)在区间?0，?上单调递减， 2?? π??0，所以对任意x∈?有h(x) ?π?所以函数f(x)在区间?0，?上单调递减， 2?? π?π??π?因此f(x)在区间?0，?上的最大值为f(0)＝1，最小值为f??＝－. 2?2??2? 题型三 函数极值、最值的综合问题例5(2018·珠海调研)已知函数f(x)＝ ax2＋bx＋ce x(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3 5
(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用(第2课时)教案(含解析)
