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2.2.1 椭圆的标准方程(一)
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？ 思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？
梳理 (1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__________(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件 2a>|F1F2| 2a＝|F1F2| 2a<|F1F2| 知识点二 椭圆的标准方程 思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
思考2 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？
梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 焦点在x轴上 标准方程 焦点 焦距 2c 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段F1F2 动点不存在，因此轨迹不存在 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2F1(－c，0)，F2______ F1______， F2(0，c) 焦点在y轴上 2c (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2F1(－c，0)，F2(c，0) y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2F1(0，－c)，F2(0，c) 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
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a，b，c的关系 (3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标． b2＝a2－c2 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x项和y项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，
54
22
y2x2
F2(0，1)，焦距|F1F2|＝2.
类型一 椭圆的定义解读
例1 点P(－3，0)是圆C：x＋y－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 类型二 求椭圆的标准方程
命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程
111
例2 求焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程．
332引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．
259
反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx＋ny＝1(m≠n，m>0，n>0)．
2
2
2
2
x2y2
x2y2x2y22(2)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0，b>－λ)，
aba＋λb＋λy2x2y2x22
与椭圆2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0，b>－λ)．
aba＋λb＋λ跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)．
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命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程
例3 已知一动圆M与圆C1：(x＋3)＋y＝1外切，与圆C2：(x－3)＋y＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．
反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．
45跟踪训练3 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和
325
，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 3
类型三 椭圆中焦点三角形问题
例4 (1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，
54求△F1PF2的面积；
(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．
92反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
2
2
2
2
y2x2
x2y2
x2y2
跟踪训练4 (1)在椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐
ab标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积S?PFF＝c|y0|＝btan；
122
2
α(2) 已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的
43面积．
1．已知A(－5，0)，B(5，0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( ) A．椭圆 C．线段
2
2
x2y2
B．直线 D．点
2．若方程3x＋ky＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为( ) A．1 B．3 C．0 D．－2
3．已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C2516上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________． 4．椭圆8x＋3y＝24的焦点坐标为________________．
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2
x2y2
2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_1椭圆的标准方程一学案新人教B版选修2_1
