参数方程极坐标系解答题
一、圆上的点到直线的距离最大值
1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：
，曲线C的参数方程为：
（α为参数）．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（∴∴x﹣sinθ﹣cosθ）=， ， y+1=0． （α为参数）． （2）根据曲线C的参数方程为：得 22（x﹣2）+y=4， 它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆， 圆心到直线的距离为： d=， ∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=． 点评： 本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题． 2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为
上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （Ⅰ）由圆C的极坐标方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C
，化为ρ=2，把代入即可得出． （II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为把22，化为ρ=222， 代入可得：圆C的普通方程为x+y﹣2x+2y=0，即（x﹣1）+（y+1）=2． ∴圆心坐标为（1，﹣1）， ∴圆心极坐标为； （Ⅱ）由直线l的参数方程， ∴圆心到直线l的距离∴|AB|=2==， （t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：， 点P直线AB距离的最大值为． ， 点评： 本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+
）=
，圆
C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）
（Ⅰ）求圆心C的极坐标；
（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3． 考点： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系． 专题： 计算题． 分析： （1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系， 消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可． （2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值． 解答： 解：（1）由 ρsin（θ+）=，得 ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0． 由 得C：圆心（﹣，﹣）． ∴圆心C的极坐标（1，）． （2）在圆C：的圆心到直线l的距离为： ∵圆C上的点到直线l的最大距离为3， ∴r=2﹣ 时，圆C上的点到直线l的最大距离为3． ． ∴当r=2﹣点评： 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容． 4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为
，（t为参数），曲
线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围． 考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程； （2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围． 解答： 解：（1）根据题意，得 22曲线C1的直角坐标方程为：x+y﹣4y=12， 设点P（x′，y′），Q（x，y）， 根据中点坐标公式，得 ，代入x+y﹣4y=12， 得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）+（y﹣1）=4， （2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得 ， 2222 解得实数a的取值范围为：[0，]． 点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解． 5．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值． 考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题． 分析： （I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标． （II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可． 解答： 解：（I）∵∴圆C的直角坐标方程为即（II）∵直线l的普通方程为圆心C到直线l距离是，∴， ，∴圆心直角坐标为， ， （10分） ．（5分） ， 222∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
二、椭圆上的点到直线的距离的最大值
1．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为则． ，其中α为锐角． ． ． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为点评： 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 2．已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
（t为参数）距离的
最小值．
考点： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 专题： 计算题；压轴题；转化思想． 分析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆； （2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值． 解答： 22解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）+（y﹣3）=1， 所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆； 把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆； （2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4）， 把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，
高中数学参数方程应用大题(带答案)
