精品教案
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学业分层测评 新人教A版选修2-1
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2 C．4
B．1 D．8
【解析】 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所
2以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物
2线的距离等于4，故选C.
【答案】 C
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2C．6
3
B．4 D．43
pp【解析】 据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准
?m2?m2
线．设P?，m?，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，
44??
得1＋
m2
4
＝（1＋1）2＋m2，得m＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，
可编辑
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故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 C．x＝2
B．x＝－1 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得
?1＝2px1， ①?y2? 2??y2＝2px2， ②
①－②得，
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)． 又∵y1＋y2＝4，∴
y1－y22ppx1－x2
＝4
＝＝k＝1，∴p＝2.
2
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1. 【答案】 B
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
30A.
3C．12
B．6 D．73
?3?3
【解析】 焦点F的坐标为?，0?，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y43??
＝
3?3?
?x－?，
4?
3?
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即y＝13
3372
x－
3
，代入y2＝3x， 4
得x2－x＋
＝0， 16
3
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 21
则x1＋x2＝，
2
3213
所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.
222【答案】 C
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 C．6
B．8 D．4
【解析】 由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题
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6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±
1x＋＝4
1
x)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距4
离为x2＋（x）2，由题意有x2＋（x）2，∴x＝
12，∴y＝±，∴此点坐标84
?12???.
为?，±
4??8?
?12??? 【答案】 ，±?84???
7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2
＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
【答案】 0或1
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________. 【导学号：18490074】
【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
??y2＝4x，由? ??y＝kx＋k，
得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
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【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝
17，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
?p?
设A(x0，y0)，由题知M?0，－?.
2??
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
2∵|AM|＝
17，
p?p?2∴x20＋?y0＋?＝17，
2??
2∴x20＝8，代入方程x0＝2py0，
?p?
得8＝2p?3－?，解得p＝2或p＝4.
?2?
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝
3.
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