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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学业分层测评 新人教A版选修2-1

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精品教案

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学业分层测评 新人教A版选修2-1

(建议用时:45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )

A.2 C.4

B.1 D.8

【解析】 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,因为P(6,y)为抛物线上的点,所

2以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+=8,所以p=4,即焦点F到抛物

2线的距离等于4,故选C.

【答案】 C

2.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )

A.2C.6

3

B.4 D.43

pp【解析】 据题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准

?m2?m2

线.设P?,m?,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,

44??

得1+

m2

4

=(1+1)2+m2,得m=23,∴等边三角形的边长为4,其面积为43,

可编辑

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故选D.

【答案】 D

3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )

A.x=1 C.x=2

B.x=-1 D.x=-2

【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得

?1=2px1, ①?y2? 2??y2=2px2, ②

①-②得,

(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2). 又∵y1+y2=4,∴

y1-y22ppx1-x2

=4

==k=1,∴p=2.

2

∴所求抛物线的准线方程为x=-1. 【答案】 B

4.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )

30A.

3C.12

B.6 D.73

?3?3

【解析】 焦点F的坐标为?,0?,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y43??

3?3?

?x-?,

4?

3?

可编辑

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即y=13

3372

x-

3

,代入y2=3x, 4

得x2-x+

=0, 16

3

设A(x1,y1),B(x2,y2), 21

则x1+x2=,

2

3213

所以|AB|=x1+x2+=+=12,故选C.

222【答案】 C

5.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,那么|AB|等于( )

A.10 C.6

B.8 D.4

【解析】 由题意知p=2,|AB|=x1+x2+p=8.故选B. 【答案】 B 二、填空题

可编辑

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6.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________. 【解析】 设抛物线上点的坐标为(x,±

1x+=4

1

x),此点到准线的距离为x+,到顶点的距4

离为x2+(x)2,由题意有x2+(x)2,∴x=

12,∴y=±,∴此点坐标84

?12???.

为?,±

4??8?

?12??? 【答案】 ,±?84???

7.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=________. 【解析】 当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消去y得k2x2

+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,∴k=1.

【答案】 0或1

8.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是________. 【导学号:18490074】

【解析】 设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线上,该抛物线的标准方程为y2=4x.

过点P(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1).

??y2=4x,由? ??y=kx+k,

得ky2-4y+4k=0.

当k=0时,显然不符合题意;

当k≠0时,依题意得Δ=(-4)2-4k·4k<0,

化简得k2-1>0,解得k>1或k<-1,因此k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).

可编辑

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【答案】 (-∞,-1)∪(1,+∞) 三、解答题

9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=

17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.

【解】 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),

?p?

设A(x0,y0),由题知M?0,-?.

2??

∵|AF|=3,∴y0+=3,

2∵|AM|=

17,

p?p?2∴x20+?y0+?=17,

2??

2∴x20=8,代入方程x0=2py0,

?p?

得8=2p?3-?,解得p=2或p=4.

?2?

∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.

10.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;

(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.

【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=

3.

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