第九章 刚体的平面运动
§9-1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体的平面运动在工程中是常见的。 例如 （1）行星齿轮机构中动齿轮B的运动
（2）曲柄连杆机构中连杆的运动； （3）车轮沿直线轨道滚动。
B行星轮Am曲柄A连杆CvC
(a)(b)(c)
图 1
它们的共同运动特点是：在运动时，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。刚体的这种运动称为平面运动。
根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图形S在其自身平面内的运动。
设刚体作平面运动，某一固定平面为P0，如图2所示，过刚体上M点作一个与固定平面P0相平行的平面P，在刚体上截出一个平面图形S，平面图形S内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面P内运动。过M点作与固定平面P0相垂直的直线段M1M2，直线段M1M2的运动为平移，其上各点的运动均与M点的运动相同。因此刚体作平面运动时，只需研究平面图形S在其自身平面P内的运动即可。
如图3所示，在平面图形S内建立平面直角坐标系oxy，来确定平面图形S的位置。为确定平面图形S的位置只需确定其上任意直线段AB的位置，
yOPxP0SM1MM2yByAO
AφxA图8-3x
图2 图3
线段AB的位置可由点A的坐标和线段AB与x轴或者与y轴的夹角来确定。即有
?xA?f1(t)??yA?f2(t) ???f(t)3?上式称为平面图形S的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。点A称为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，刚体在任一瞬时的位置和运动规律就可以确定了。
现在来研究平面图形S的运动。平面图形在其自身平面内的位置，完全可以由图形内任意一线段O’M的位置来确定。
平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动(牵连速度)和绕基点的转动(相对运动)。即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。
应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。但是，选取不同的基点A或B，则平动的位移是不同的，从而，图形随A点或B点平动的速度和加速度也不相同。因此，图形的平动与基点的选取有关。然而对于绕不同的基点转过的转角△φ和△φ′的大小及转向却总是相同，即△φ=△φ′，于是
ω=ω′，ε=ε′
这说明，在任意瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都是相同的。即图形的转动与基点的选取无关。
§9-2 求平面图形内各点速度的基点法
1.基点法
平面图形S运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成。因此，运用速度合成定理求平面图形内各点的速度。
如图4所示，取A为基点，求平面图形内B点的速度，设图示瞬时平面图形的角速度为ω，由速度合成定理知，牵连速度ve?vA，相对速度 vr?vBA?ωAB
AvBAvBvAvAωvB?vA?vBA （*）
求平面图形S内任一点速度的基点法：在任 图4
一瞬时，平面图形内任一点的速度等于基点的速度和绕基点转动速度的矢量和。
2.速度投影法
已知平面图形S内任意两点A、B速度的方位，如图5所示，将式（*）向AB连线投影为：
[vA]AB?[vB]AB
vBvBAvBαAvAB即得速度投影定理：平面图形S内任意两点的速度在两点连线上投影相等。
β图4
例1 如图所示，滑块A、B分别在相互垂直的滑槽中滑动，连杆AB的长度为
l=20cm，在图示瞬时，vA=20cm/s，水平向左，连杆AB与水平线的夹角为
第9章 刚体的平面运动
